OPERATOR SUPERPOSISI DAN OPERATOR URUTAN PADA RUANG BARISAN BERNILAI RIESZ

ELVINA HERAWATY, Prof. Dr. Supama, M.Si. ; Dr. rer. nat. I. E. Wijayanti, S.Si., M.Si.

2015 | Disertasi | S3 Matematika

Dalam disertasi ini diperkenalkan konsep baru tentang ruang barisan bernilai Riesz yang dibangun oleh suatu modular urutan dengan menggunakan operator pada ruang Riesz yang disebut fungsi-phy urutan. Ruang barisan ini merupakan generalisasi ruang barisan Orlicz bernilai vektor. Pada bagian awal disertasi ini, dikemukakan beberapa pengertian dasar yang terkait dengan ruang Riesz, antara lain tentang beberapa sifat elemen di ruang Riesz, barisan konvergen urutan dan barisan Cauchy urutan di dalam ruang Riesz serta karakterisasinya, ruang Riesz bernorma, dan Banach lattice. Untuk sebarang ruang Riesz E, ruang barisan bernilai di dalam E, dinotasikan X(E). Selanjutnya, dengan terlebih dahulu mendenisikan fungsi phy urutan, dibangun ruang barisan baru, dinotasikan dengan X(E, phy) apabila fungsi phy bersifat konveks dan ruang Riesz bernorma X(E) merupakan ideal, diperoleh ruang X(E, phy) merupakan ideal Riesz bernorma terhadap norma Luxemberg, yaitu norma yang dibangkitkan oleh modular urutan. Selanjutnya, diturunkan beberapa sifat monoton dari norma Luxemberg, seperti sifat monoton kuat, monoton seragam dan monoton seragam lokal. Selain itu, diteliti pula beberapa sifat topologi dari ruang X(E, phy). Selanjutnya, didenisikan operator superposisi P indeks g pada X(E, phy) dengan menggunakan fungsi pembangkit g dari E ke E dengan E suatu ruang Riesz bernorma lengkap Dedekind(sigma). Melalui fungsi pembangkit ini dapat diformulasikan syarat perlu dan cukup agar operator superposisi P indeks g memetakan ruang X(E, phy) ke ruang barisan bernilai Riesz X(E, phy) untuk kasus-kasus X merupakan ruang barisan real klasik c(0) atau l tak hingga , yaitu ruang barisan real yang konvergen ke nol atau ruang barisan real yang deret mutlaknya terjumlah. Selanjutnya, ditunjukkan bahwa fungsi pembangkit g yang kontinu secara norma merupakan syarat perlu dan cukup agar operator superposisi P kontinu. Selain operator superposisi tersebut di atas, pada disertasi ini juga disampaikan tentang operator urutan T dari E ke F untuk E dan F ruang Riesz lengkap Dedekind sigma. Selanjutnya, diteliti syarat perlu dan cukup operator urutan T memetakan X(E) ruang-ruang barisan khusus, yaitu c(E) ke c(F), l(E) ke l(F) dan dari l tak hingga (E) ke c(F), untuk E dan F ruang Riesz dengan F lengkap Dedekind-_ bersifat stabil. Selanjutnya diperlihatkan juga syarat perlu operator urutan bekerja dari `(E) ke c(F). Terakhir, untuk X(E) ruang barisan BLK yang bersifat AK, diformulasikan syarat perlu dan cukup agar operator urutan T memetakan X(E) ke c(E). Untuk sebarang ruang barisan BLK X(E), tanpa harus memenuhi sifat AK, dapat dirumuskan syarat perlu dan cukup operator urutan T memetakan X(E) ke c (E) dan dari X(E) ke l (E).

In this dissertation we introduce a new concept about Riesz-valued sequence spaces thats defined by ordered modular by using an operator in Riesz spaces called order-_ function. This spaces are generalization of vector valued Orlicz sequence spaces. We begin by introducing some fundamental concepts relate to Riesz spaces, such as some properties of elements in Riesz spaces, order convergence and order Cauchy sequences in Riesz spaces and their characterization, normed Riesz spaces, and Banach lattices. Let E be a Riesz space. A space of E-valued sequences will be denoted by X(E). Furthermore, we introduce an order phy function and define the space X (E, phy). If the function phy is convex and X(E) is an ideal normed Riesz space, we get the space X (E, phy) is an ideal normed Riesz space with respect to norm Luxemberg, that is a normed defined by ordered mudular. Some monotonic properties of the norm Luxemberg, such as strictly monotonicity, uniformly monotonicity and locally uniformly monotonicity, are observed as well. We also investigate some topological properties of the space X (E, phy). Furthermore, we define a superposition operator P indeks g on X (E, phy) using a generating function g from sistem natural number N cross E to E, where E is a normed Riesz space sigma Dedekind complete. Based on the properties of the function g, we formulate necessary and sufficient conditions so that ther superposition operator P index g maps the space X (E, phy) into the Riesz valued sequence space X (E, phy), especially for X is a classic real valued sequence spaces c 0 or l , where c 0 and `are the space real valued sequences that converge to zero and absolutely summable respectively. Futhermore, we prove that the continuity of g is a necessary and sufficient condition for the continutity of the superposition operator P index g. In this dissertation we also discuss an ordered operator T from E to F, for E and F are Riesz spaces with F is a Dedekind complete sigma with stable properties. We also formulate the necessary and sufficient conditions so that the ordered operator X(E). maps the special Riesz valued sequence spaces, i.e., from c(E) to c(F), from infinite l (E) to infinite 1 (F) and from l(E) to c(F). We also derive necessary conditions so that the ordered operator maps 1 (E) into c(E). In the last part of this dissertation, we formulate necessary and sufficient conditions so that the ordered operator T maps X(E) into c(E), where X(E) is a BLK space satisfies the AK property. In case X(E) is a BLK space, we can derive necessary and sufficient conditions so that the ordered operator T maps X(E) into l tak hingga (E) and T maps X(E) into infinte (E).

Kata Kunci : konvergen urutan, Banach lattice, konveks, monoton kuat, monoton seragam, monoton seragam lokal, sifat topologi, operator superposisi, operator urutan, ruang BLK, sifat AK.