KONSTRUKSI BIMODUL-R BERSIH-r KIRI DAN SIFAT-SIFATNYA

Dian Ariesta Yuwaningsih, Prof. Dr.rer.nat. Indah Emilia Wijayanti, M.Si. ; Dr. Budi Surodjo, M.Si.

2025 | Disertasi | S3 Matematika

Diberikan ring R dengan elemen identitas $1_R$ dan bimodul M atas R. Pada disertasi ini telah dikonstruksi bimodul-R bersih-r kiri, yang pendefinisiannya tidak melalui ring endomorfisma bimodulnya. Bimodul M disebut bimodul-R bersih-r kiri jika setiap elemennya merupakan jumlahan idempoten kiri dan elemen reguler kiri di M. Selanjutnya, disajikan beberapa sifat bimodul-R bersih-r kiri dan penerapannya pada amalgamasi bimodul dan modul bebas. Penelitian ini dimulai dengan konstruksi ideal bersih-r, aljabar bersih-r, dan modul endobersih-r, serta penyelidikan syarat perlu dan syarat cukupnya. Selanjutnya, dikonstruksi idempoten kiri dan elemen reguler kiri pada bimodul-R, yang dilanjutkan dengan konstruksi bimodul-R reguler kiri dan penyelidikan sifat-sifatnya. Konsep bimodul-R reguler kiri akan digunakan dalam penyelidikan sifat-sifat bimodul-R bersih-r kiri. Setelah menyelidiki sifat-sifat bimodul-R bersih-r kiri, kemudian dikonstruksi bisubmodul-R bersih-r kiri dengan memperumum ideal bersih-r yang telah diteliti sebelumnya. Selanjutnya, menggunakan konsep modul endobersih-r diselidiki hubungan antara bimodul-R bersih-r kiri dan modul-R bersih. Di sisi lain, termotivasi dari penelitian sebelumnya tentang sifat bersih pada amalgamasi ring, pada disertasi ini disajikan beberapa sifat bersih-r pada amalgamasi ring dan beberapa sifat bersih-r kiri pada amalgamasi bimodul-R. Namun, karena konsep amalgamasi bimodul-R belum pernah diteliti, sebelumnya dikonstruksi amalgamasi bimodul-R. Selanjutnya, mengingat setiap modul-R bebas M dengan free-rank $\mathbb{N}$ isomorfis dengan $R^{(\mathbb{N})}$, jika R merupakan ring komutatif, maka setiap modul-R bebas M dapat dipandang sebagai bimodul-R $R^{(\mathbb{N})}$. Mengingat elemen bersih-r kiri pada bimodul-R $R^{(\mathbb{N})}$ hanyalah elemen $\{0_R\}_{i\in\mathbb{N}}$, diperoleh bimodul-R $R^{(\mathbb{N})}$ tidak akan membentuk bimodul-R bersih-r kiri. Oleh karena itu, pada disertasi ini telah diperumumum definisi bimodul-R bersih-r kiri pada $R^{(\mathbb{N})}$, yang selanjutnya disebut bimodul-R bersih-r tergeneralisasi. Lebih lanjut, disajikan sifat-sifat bimodul-R bersih-r tergeneralisasi $R^{(\mathbb{N})}$.

Let R be a ring with identity $1_R$, and M a module over R. In this dissertation, we construct a notion of left r-clean R-bimodules, where the definition is not based on the endomorphism ring of the bimodule. An R-bimodule M is said to be left r-clean if each of its elements can be expressed as the sum of a left idempotent and a left regular element of M. Furthermore, we present several properties of left r-clean R-bimodules and explore their applications to amalgamated bimodules and free modules. This study begins with the construction of r-clean ideals, r-clean algebras, and r-endoclean modules, along with an investigation of their necessary and sufficient conditions. Next, we define left idempotent and left regular elements in R-bimodules, followed by the construction of left regular R-bimodules and an examination of their properties. These concepts are then utilized to further investigate the properties of left r-clean R-bimodules. Afterward, we construct left r-clean R-bisubmodules by generalizing the notion of r-clean ideals introduced earlier. Moreover, using the concept of r-endoclean modules, we examine the relationship between left r-clean R-bimodules and clean R-modules. Inspired by earlier work on the clean property in amalgamated rings, this dissertation investigates various r-clean properties in amalgamated rings and explores certain left r-clean properties in amalgamated R-bimodules. Since the concept of amalgamated R-bimodules has not previously been explored, we begin by constructing such bimodules. Additionally, recalling that any free R-module M with free-rank $\mathbb{N}$ is isomorphic to $R^{(\mathbb{N})}$, and noting that if R is commutative, then M can be viewed as the R-bimodule $R^{(\mathbb{N})}$. Since, in $R^{(\mathbb{N}a)}$, the only left r-clean element is $\{0_R\}_{i\in\mathbb{N}}$, it follows that $R^{(\mathbb{N})}$ does not form a left r-clean R-bimodule. Therefore, in this dissertation, we generalize the definition of a left r-clean R-bimodule in the context of $R^{(\mathbb{N})}$, and hereafter refer to it as a generalized r-clean R-bimodule. Finally, we present several properties of the generalized left r-clean R-bimodule $R^{(\mathbb{N})}$.

Kata Kunci : ring bersih, ring bersih-r, bimodul bersih-r kiri, amalgamasi