Solution of Perturbation Problems in a System of First-Order Delay Differential Equations with Nonlinearity

NIKENASIH BINATARI, Dr. Fajar Adi Kusumo, S.Si., M.Si; Dr. Wim van Horssen; Dr.rer.nat. Lina Aryati, M.S

2024 | Disertasi | S3 Matematika

Permasalahan perturbasi pada penelitian ini dikategorikan menjadi dua bagian berdasarkan jenisnya pada level O(1), yaitu linier dan nonlinier. Untuk kasus linier, akan disajikan pendekatan baru tentang penerapan metode perturbasi multiple time scales pada persamaan diferensial delay sehingga perkiraan solusi dapat diperoleh secara akurat dalam skala waktu yang lama. Metode yang ditawarkan memperhitungkan semua akar karakteristik yang tak hingga banyak untuk persamaan diferensial tanpa perturbasi, dan solusinya memenuhi kondisi awal yang diberikan. Untuk kasus nonlinier, akan disajikan teknik baru untuk menyelidiki perilaku global titik keseimbangan yang memuat akar karakteristik imajiner murni dengan mengadopsi teorema Melnikov. Dibandingkan dengan tehnik-tehnik sebelumnya, dapat ditunjukkan bahwa pendekatan baru memberikan aproksimasi yang lebih baik dibandingkan metode sebelumnya untuk kasus linear di level O(1). Sementara itu, untuk kasus nonlinear di level O(1), diperoleh syarat cukup agar sistem delay mempunyai limit cycle.

Perturbation problems in this research are categorized into two parts based on the type at the O(1)-level, namely linear and nonlinear. For the linear case, it will be presented a new approach on how the multiple time-scales perturbation method can be applied to differential-delay equations such that the approximations of the solutions can be obtained which are accurate on long time-scales. In?nitely many roots of the characteristic equation for the unperturbed differential-delay equation are taken into account, and the approximations satisfy initial conditions given on a time interval (determined by the delay). For the nonlinear case, a new technique to investigate the global behaviour of an equilibrium point with purely imaginary characteristic roots by adopting Melnikov’s theorem is presented. Compared to the previous techniques, it is shown that the new approach gives better approximations for the linear case in O(1)- level. As for the nonlinear case, suf?cient conditions to have limit cycles for some delay systems are provided.

Kata Kunci : Perturbation Methods, Delay Differential Equations, Asymptotic Validity.