Telaah Matematis Aliran Stokastik Pada Permukaan Bola Eksotik

NURFARISHA, Dr.rer.nat. Muhammad Farchani Rosyid

2019 | Disertasi | DOKTOR FISIKA

Telah ditelaah konsep aliran stokastik isometrik yang berkaitan dengan persamaan diferensial stokastik Stratonovich pada permukaan bola, yaitu pada permukaan bola standar dan permukaan bola eksotik Gromoll-Meyer. Permukaan bola standar $S^7_s$ dapat dibangun sebagai keragaman kuosien $\mathrm{Sp}(2, \mathbb{H})/S^3$ yang relatif terhadap aksi-${\bullet}$ bagi $S^3$, sementara permukaan bola eksotik Gromoll-Meyer $\Sigma^7_{GM}$ sebagai keragaman kuosien $\mathrm{Sp}(2, \mathbb{H})/S^3$ yang relatif terhadap aksi-${\star}$ bagi $S^3$. Persamaan diferensial stokastik Stratonovich yang menggambarkan proses stokastik malar pada permukaan bola standar telah dibangun dan ditelaah. Proses stokastik malar yang sesuai beserta sifat-sifatnya pada permukaan bola eksotik Gromoll-Meyer dapat diperoleh dengan membangun suatu homeomorfisma $h:S^7_s \rightarrow \Sigma^7_{GM}$. Perumusan persamaan Fokker-Planck dan laju perubahan entropi dalam pendekatan Stratonovich juga ditelaah. Konsekuensi dari pemilihan struktur diferensial eksotik pada proses stokastik malar yang berlangsung pada ruang topologis $S^{m+n+1}$ sebagai ruang keadaan proses itu juga telah diselidiki. Lebih tepatnya, telah ditelaah watak proses stokastik malar yang ruang keadaannya dipahami merupakan keragaman berdimensi-$({m + n + 1})$ yang homeomorfik tetapi tidak harus difeomorfik dengan permukaan bola standar berdimensi-${(m + n + 1)}$. Keragaman ini dibangun dari gabungan saling asing $\mathbb{R}^{m+1}\times S^{n}\sqcup S^m\times \mathbb{R}^{n+1}$ dengan identifikasi setiap sepasang titiknya menggunakan peta $u :\mathbb{R}^{m+1}\times S^n\rightarrow S^m\times \mathbb{R}^{n+1}$ yang dibangun dari difeomorfisma $h_1\times h_2:S^m\times S^n\rightarrow S^m\times S^n$. Apakah keragaman yang dihasilkan dari prosedur pengonstruksian di atas homeomorfik atau bahkan difeomorfik dengan permukaan bola standar $S^{m+ n + 1}_s$ bergantung pada difeomorfisma $h_1: S^m\rightarrow S^m$ dan $h_2: S^n\rightarrow S^n$. Ditinjau hanya kasus yang difeomorfisma $h_1$ dan $h_2$ menghasilkan keragaman yang setidaknya homeomorfik dengan permukaan bola standar. Difeomorfisma $h_1$ dan $h_2$, oleh karena itu, dapat dianggap sebagai pembawa "keeksotikaan" pada keragaman yang dibangun. Untuk seluruh tujuan di atas, homeomorfisma $h$ dari keragaman yang telah dibangun di atas ke (\textit{onto}) permukaan bola standar secara eksplisit terkait dengan difeomorfisma $h_1$ dan $h_2$ yang telah dibangun. Homeomorfisma $h$ mengidentifikasi secara topologis suatu ruang topologis atas keragaman yang dibangun di atas dengan permukaan bola standar $S^{m+n +1}_s $. Dengan homeomorfisma $h$ dan seluruh pemetaan yang terkait yang diperoleh dari $h$ dan dinyatakan dalam notasi $h_1$ dan $h_2$ serta turunannya, dibangun proses stokastik malar atau aliran stokastik pada keragaman yang dibangun di atas yang sesuai dengan proses stokastik malar pada permukaan bola standar $S^{m+n+1}_s$. Proses stokastik malar yang dihasilkan dari pengonstruksian di atas pada keragaman yang dibangun dapat dipandang sebagai proses stokastik malar yang sama pada $S^{m+n+1}_s$ tetapi digambarkan oleh struktur diferensial eksotik pada $S^{m+n+1}$.

We studied isometric stochastic flows of a Stratonovich stochastic differential equation on spheres, i.e. on the standard sphere and Gromoll-Meyer exotic sphere. The standard sphere $S^7_s$ can be constructed as the quotient manifold $\mathrm{Sp}(2, \mathbb{H})/S^3$ with with respect to the so-called ${\bullet}$-action of $S^3$, whereas the Gromoll-Meyer exotic sphere $\Sigma^7_{GM}$ as the quotient manifold $\mathrm{Sp}(2, \mathbb{H})/S^3$ with respect to the so-called ${\star}$-action of $S^3$. The Stratonovich stochastic differential equation which describes a continuous-time stochastic process on the standard sphere is constructed and studied. The corresponding continuous-time stochastic process and its properties on the Gromoll-Meyer exotic sphere can be obtained by constructing a homeomorphism $h: S^7_s\rightarrow \Sigma^7_{GM}$. The corresponding Fokker-Planck equation and entropy rate in the Stratonovich approach is also investigated. The consequences of the choice of exotic differential structure on continuous-time stochastic processes taking place on the topological space $S^{m+n+1}$ as state space of the processes have been investigated. More precisely, we have investigated the properties of continuous-time stochastic processes where the state spaces of the continuous time stochastic processes under consideration are $({m+n+1})$-dimensional manifolds which are homeomorphic but not necessarily diffeomorphic to standard ${(m+n+1)}$-dimensional sphere. The manifolds have been constructed from disjoint union $\mathbb{R}^{m+1}\times S^{n}\sqcup S^m\times \mathbb{R}^{n+1}$ by identifying every pair of its points using a map $u :\mathbb{R}^{m+1}\times S^n\rightarrow S^m\times \mathbb{R}^{n+1}$ which is constructed from a diffeomorphism $h_1\times h_2:S^m\times S^n\rightarrow S^m\times S^n$. Whether a manifold which is yielded from the above procedure of construction is homeomorphic or even diffeomorphic to the standard sphere $S^{m+n+1}_s$ depends on the diffeomorphism $h_1, S^m\rightarrow S^m$ and $h_2: S^n\rightarrow S^n$. We considered only the cases where the diffeomorphisms $h_1$ and $h_2$ lead to the manifolds which are at least homeomorphic to a standard sphere. The diffeomorphisms $h_1$ and $h_2$, therefore, can be regarded as the carriers of the "exoticism" of the constructed manifolds. For all of the above purposes, homeomorphisms $h$ from the above-constructed manifolds onto the standard sphere explicitly in term of the diffeomorphisms $h_1$ and $h_2$ have been constructed. The homeomorphisms $h$ topologically identifies the topological spaces of the above-constructed manifolds with the standard sphere $S^{m+n+1}_s$. Using the homeomorphisms $h$ and all their associated maps derived from them and expressed in terms of $h_1$ and $h_2$ as well as their derivatives, we construct the continuous-time stochastic processes or flows on the above-constructed manifolds corresponding to stochastics processes on the standard sphere $S^{m+n+1}_s$. The continuous-time stochastic processes yielded from the above construction on the constructed manifolds can be regarded as the same continuous-time stochastic processes on $S^{m+n+1}_s$ but described in exotic differential structures on $S^{m+n+1}$.

Kata Kunci : Continuous-time stochastic process, Stratonovich stochastic differential equation, isometric stochastic flows, Fokker-Planck equation, entropy rate, Gromoll-Meyer exotic sphere, homeomorphism