NECESSARY AND SUFFICIENT CONDITIONS FOR U(*K) TO COINCIDE WITH THE PRIME RADICAL BETA

PUGUH WAHYU PRASETYO, Dr. rer. nat. Indah Emilia Wijayanti, M.Si

2018 | Disertasi | S3 Matematika

Suatu kelas ring-ring mu disebut hereditary (respectively, left hereditary, right hereditary) jika untuk setiap ring R di mu berakibat I di mu untuk setiap ideal (respectively, left ideal, right ideal) I dari R. Suatu kelas mu yang terdiri dari ring-ring prima (respectively ring-ring semiprima) disebut kelas khusus (respectively kelas khusus lemah) jika mu memuat semua ideal dari ring A di mu dan mu tertutup terhadap perluasan essensial. Ring prima A disebut *-ring jika A merupakan ring prima dan A tidak mempunyai ideal prima taknol sejati. Essensial klosur *k dari kelas semua *-ring merupakan kelas khusus. Keberadaan kelas khusus ring memotivasi keberadaan kelas khusus modul. Kelas khusus lemah modul juga diperkenalkan dalam penelitian ini. Keberadaan *-ring memotivasi adanya *p-modul. Dalam penelitian inidiberikan syarat perlu dan syarat cukup agar suatu ring merupakan *-ring dan beberapa sifat lanjutan dari kelas khusus modul yang berkaitan dengan permasalahan yang diusulkan oleh Gardner pada Tahun 1988, yaitu, persamaan antara radikal prima  dan radikal atas U(*k) yang dibangun oleh *k. Beberapa syarat perlu dan syarat cukup agar permasalahan ini memiliki solusi positif juga diberikan. Suatu kelas radikal alpha disebut left strong (respectively, right strong), jika untuk setiap ring R dan setiap ideal kiri (respectively, ideal kanan) L di alpha dari R, kita punya L* di mu. Telah kita ketahui bersama bahwa untuk suatu kelas ring  yang tertutup secara homomorfis, terdapat radikal kuat terkecil Ls(mu) yang memuat mu. Kelas radikal supernilpoten alpha disebut N-radikal jika alpha merupkan left strong and left hereditary. Beberapa hasil terkait tentang N-radikal juga ditunjukkan termasuk beta-ring.

A class mu of rings is said to be hereditary (respectively, left hereditary, right hereditary) if for every ring R in mu, we have I in mu for every ideal (respectively, left ideal, right ideal) I of R. A class mu of prime rings (respectively semiprime rings) is called a special (respectively weakly special) class of rings if mu contains all ideals of ring A in mu and mu is closed under essential extensions. A prime ring A is called a *-ring if A is a prime ring and A has no nonzero proper prime ideal. The essential closure *k of the class * of all *-rings is a special class of rings. The existing of special class of rings motivated the existing of special class of modules. The weakly special class of modules will be introduced. The existing of *-ring motivates the existing of *p-module.We give a necessary and sufficient condition for a ring to be a *-ring and some further properties of special class of modules related to the problem posed by Gardner in 1988, that is, the coincidence between the prime radical  and the upper radical U(*k) generated by *k. Some necessary and sufficient conditions for the question whether the prime radical  coincide with the upper radical U(*k) to have a positive answer will be given. A radical alpha is called left strong (respectively, right strong), if for every ring R and every left ideal (respectively, right ideal) L in alpha of R, we have L* in alpha. It is well known that for any homomorphically closed class mu of rings, there exists the smallest strong radical Ls(mu) containing mu. A supernilpotent radical alpha is called an N-radical if alpha is left strong and left hereditary. Some results concerningN-radical are also shown and we also introduce an almost beta-ring.

Kata Kunci : the prime radical , the radical U(*k), N-radical.