Integral Henstock-Kurzweil di Dalam Ruang C[Alfa,Beta]

FIRDAUS UBAIDILLAH, Prof. Dr. Soeparna Darmawijaya; Prof. Dr. Ch. Rini Indrati

2016 | Disertasi | S3 Matematika

Disertasi ini merupakan hasil penelitian dalam mengkonstruksi integral Henstock-Kurzweil fungsi bernilai di ruang $C[\alpha,\beta]$ yang terdefinisi pada selang tertutup $[f,g]\subseteq C[\alpha,\beta]$, dengan $C[\alpha,\beta]$ merupakan koleksi semua fungsi kontinu bernilai real yang terdefinisi pada selang tertutup $[\alpha,\beta]\subseteq \mathbb$. Konsep dalam mengkonstruksi integral Henstock-Kurzweil ini mengikuti konsep integral Henstock-Kurzweil pada ruang real yang sudah dikenal selama ini. Pada bagian awal disertasi ini, dikemukakan beberapa pengertian dasar yang terkait dengan ruang $C[\alpha,\beta]$ antara lain tentang sifat $C[\alpha,\beta]$ sebagai ruang Riesz, metrik dan norma bernilai di $C[\alpha,\beta]$, kekonvergenan barisan dan deret, dan persekitaran titik di dalam $C[\alpha,\beta]$. Selanjutnya, dikonstruksi kalkulus pada $C[\alpha,\beta]$ khususnya untuk keperluan dalam konstruksi integral Henstock-Kurzweil di dalam ruang $C[\alpha,\beta]$ diantaranya limit, kekontinuan, derivatif fungsi bernilai di $C[\alpha,\beta]$ serta kekonvergenan barisan fungsi. Dalam mengkonstruksi integral Henstock-Kurzweil fungsi bernilai di $C[\alpha,\beta]$ terdefinisi pada selang tertutup $[f,g]\subseteq C[\alpha,\beta]$, diawali dengan membangun partisi pada $[f,g]$. Selanjutnya didefinisikan integral Henstock-Kurzweil fungsi bernilai di $C[\alpha,\beta]$ terdefinisi pada selang tertutup $[f,g]$. Dari pendefinisian ini kemudian dikembangkan sifat-sifat fungsi terintegral Henstock-Kurzweil dalam bentuk teorema-teorema. Dari fungsi terintegral Henstock-Kurzweil, selanjutnya dibangun fungsi primitif Henstock-Kurzweil. Untuk mengetahui sifat-sifat fungsi primitif terintegral Henstock-Kurzweil ini, dibahas pula integral mutlak Henstock-Kurzweil dan kemudian dikembangkan dalam bentuk teorema-teorema. Dalam disertasi ini dibicarakan sekilas integral Denjoy fungsi bernilai di $C[\alpha,\beta]$ yang bersifat diskriptif. Selanjutnya ditunjukkan bahwa integral Denjoy ekivalen dengan integral Henstock-Kurzweil. Untuk bahasan itu dibicarakan fungsi bervariasi terbatas dan fungsi kontinu mutlak. Terakhir dibicarakan beberapa teorema kekonvergenan barisan fungsi ter-integral Henstock-Kurzweil. Tujuan yang diharapkan adalah untuk membuktikan teorema-teorema kekonvergenan, yakni teorema kekonvergenan monoton, teorema kekonvergenan seragam, teorema kekonvergenan terkendali dan teorema kekonvergenan terdominasi, bahwa kekonvergenan barisan fungsi terintegral Henstock-Kurzweil mengakibatkan kekonvergenan barisan yang dibentuk oleh integral-integral tersebut.

This dissertation is the result of research to construct of Henstock-Kurzweil type integral for $C[\alpha,\beta]$ space-valued functions that defined on a closed interval $[f,g]\subseteq C [\alpha, \beta] $, where $C[\alpha,\beta]$ is the collection of all real-valued continuous functions defined on a closed interval $[\alpha,\beta]\subseteq \mathbb$. The concept of this integral follows Henstock-Kurzweil integral concept in the real space that has been known so far. We begin by introducing some fundamental concepts about the space $ C [\alpha, \beta] $, such as some properties of $ C [\alpha, \beta] $ as a Riesz space, convergence of sequences and series, $C[\alpha,\beta]$ space-valued norms and metrics, and neighborhood of a point in $ C [\alpha, \beta] $. Furthermore, we construct calculus on $ C [\alpha, \beta] $ for constructing Henstock-Kurzweil integral in the space $ C [\alpha, \beta] $ such as limit, continuity, derivative of $C [\alpha , \beta]$ space-valued functions, and convergence of a sequence of functions. To construc the Henstock-Kurzweil integral of a $ C [\alpha, \beta] $ space-valued function that defined on a closed interval $ [f, g] \subseteq C [\alpha, \beta] $, we begin by constructing a partition on $ [f, g] $. Furthermore, we define Henstock-Kurzweil integral of a $ C [\alpha, \beta] $ space-valued function that defined on a closed interval $ [f, g]\subseteq C[\alpha,\beta] $. From this definition, we develop some properties of a Henstock-Kurzweil integrable function into theorems. From a Henstock-Kurzweil integrable function, we define a primitive of a Henstock-Kurzweil integrable function. To know some properties of a primitive of a Kurzweil-Henstock integrable function, we discuss the absolute Henstock-Kurzweil integral. In this dissertation, we give a brief discussion to Denjoy integral of $C [\alpha , \beta]$ space-valued functions. Further, we show that Denjoy integral is equivalent with Henstock-Kurzweil integral. To discuss this, we introduce the bounded variation function and the absolute continuous function. Finally, we discuss some convergence theorems of a sequence of Henstock-Kurzweil integrable functions. Our objective here is to prove that the monotone, uniform, controlled and dominated convergences of a sequence of Henstock-Kurzweil integral functions imply the convergence of the sequence formed by its corresponding integrals.

Kata Kunci : Henstock-Kurzweil integral, Henstock-Kurzweil primitive, bounded variation function, absolute continuous function, convergence theorem