PEMETAAN-PEMETAAN YANG MENGAWETKAN VOLUME MATRIKS DAN PEMETAAN-PEMETAAN YANG MENGAWETKAN SOLVABILITAS

QONITA QURROTA A`YUN, Sri Wahyuni, M.S., Dr., Prof.

2016 | Skripsi | S1 MATEMATIKA

Skripsi ini akan membahas tentang dua masalah pengawetan di aljabar matriks, yaitu pada aljabar linear dan pada aljabar abstrak. Masalah pertama yang terkait dengan aljabar linear adalah pemetaan yang mengawetkan volume matriks. Menggunakan Teorema Cauchy-Binet, ditunjukkan bahwa aplikasi dari pemetaan yang mengawetkan volume matriks dapat digunakan sebagai salah satu kriteria matriks ortogonal. Adapun aplikasi lainnya menggunakan matriks segitiga atas terpartisi adalah sebagai karakterisasi konsistensi sistem linear. Masalah kedua yang terkait dengan aljabar abstrak adalah pemetaan yang mengawetkan solvabilitas di aljabar Lie. Jika Mn(C) adalah aljabar dari semua matriks kompleks n x n dan g adalah aljabar Lie general linear gl(n, C) atau aljabar Lie spesial linear sl(n, C), maka pemetaan bijektif (tidak harus linear) phi : g mapto g disebut mengawetkan solvabilitas di dua arah jika masing-masing phi dan phi^(-1) memetakan setiap subaljabar Lie solvabel dari g ke suatu subaljabar Lie solvabel. Teorema Lie akan menyederhanakan permasalahan ini menjadi masalah karakterisasi pemetaan-pemetaan bijektif pada Mn(C) yang mengawetkan triangularisabilitas pasangan matriks di dua arah.

This study will investigate two preserving problems in matrix algebras; first is in linear algebra and second is in abstract algebra. First problem (in linear algebra) is maps preserving matrix volume. Using Cauchy-Binet's theorem, it will show the application of preserving the volume of matrix as criterion for orthogonal matrices. Other its application using partitioned upper triangular matrix is to indicate whether a linear system is consistent. Second problem (in abstract algebra) is maps preserving solvability in Lie algebra. Let Mn(C) be the algebra of all n x n complex matrices and g be the general linear Lie algebra gl(n, C) or the special linear Lie algebra sl(n, C). A bijective (not necessarily linear) map phi : g mapto g preserves solvability in both directions if both phi and (phi)^(-1) map every solvable Lie subalgebra of g into some solvable Lie subalgebra. Lie's theorem will reduce this problem to the problem of characterizing bijective maps on Mn preserving triangularizability of matrix in both directions.

Kata Kunci : volume matriks, matriks ortogonal, sistem linear, aljabar Lie, solvabilitas, triangularisabilitas.