INVERS MOORE PENROSE DIPERUMUM DAN INVERS miu-MOORE PENROSE DIPERUMUM PADA RING DENGAN ELEMEN SATUAN YANG DILENGKAPI INVOLUSI

TITI UDJIANI SRRM, Prof. Dr. Sri Wahyuni, S.U., Dr. Budi Surodjo, M.Si.

2016 | Disertasi | S3 Matematika

Invers Moore Penrose pada ring dengan elemen satuan yang dilengkapi involusi "*" dibangun oleh invers dalam yang ternormalisasi. Disertasi ini menghasilkan definisi invers Moore Penrose diperumum yang merupakan perumuman dari definisi invers Moore Penrose. Ide memperumum invers Moore Penrose dimotivasi oleh temuan bahwa invers dalam ternormalisasi dapat diperoleh melalui invers dalam sebarang. Perumuman dilakukan dengan mengabaikan syarat ternormalisasi dari invers dalam. Oleh karena tidak setiap elemen di R mempunyai invers dalam maka tidak setiap elemen di R mempunyai invers Moore Penrose diperumum. Syarat perlu dan cukup suatu elemen mempunyai invers Moore Penrose diperumum dibangun dengan terlebih dahulu menentukan syarat perlu dan cukup suatu elemen mempunyai invers dalam. Hasil yang diperoleh kemudian dikembangkan untuk memperoleh syarat perlu dan cukup suatu elemen mempunyai invers Moore Penrose diperumum. Menggunakan sifat-sifat invers Moore Penrose diperumum yang diperoleh langsung dari definisi invers Moore Penrose diperumum, dapat dibangun sifat-sifat elemen di $\textit$ yang terkait dengan invers Moore Penrose diperumum. Elemen yang dimaksud adalah elemen simetris, elemen simetris diperumum, elemen normal, elemen normal diperumum, elemen star dagger, elemen Enhancer promoter dan elemen parsial isometri. Pada penelitian ini diperoleh bahwa involusi "*" dapat diperumum menjadi involusi "*u", u di R, u* = u dan u2 = 1. Dimotivasi oleh penemuan ini selanjutnya dapat dibangun definisi invers miu-Moore Penrose diperumum yang merupakan perumuman dari invers Moore Penrose diperumum. Bagian akhir disertasi ini menjelaskan bahwa vektor penduga parameter regresi pada pemodelan regresi linier dapat dibangun oleh invers Moore Penrose diperumum.

The Moore Penrose inverse in rings R with involution "*" is built by normalized inner inverse. This dissertation obtains the definition of the generalized Moore Penrose inverse in rings which is a generalization of the definition of the Moore Penrose inverse. The idea for generalizing the Moore Penrose inverse is motivated by a finding which explains that the normalized inner inverse can be obtained by the any inverse. Generalization is contructed by ignoring the normalized of the inner inverse. Because of not each element in R has an inner inverse, so not each element in R has the Moore Penrose generalized inverse. The necessary and sufficient condition of an element has the generalized Moore Penrose inverse is constructed with the first determining of the necessary and sufficient conditions of an element having the inner inverse. Then the obtained result was developed to obtain the necessary and sufficient conditions that an element in rings has the generalized Moore Penrose inverse. Using the properties of the generalized Moore Penrose inverse which obtained directly from the definition of generalized Moore Penrose inverse, can be constructed the properties of the elements in the R which associated with generalized Moore Penrose inverse. Those are symmetrice element, generalized symmetrice e\-lement, normal element , generalized normal element, star dagger element , Enhancer promoter element and a partial isometry element. In this research, the involution "*" can be generalized into involution "*u$", u in R, u* = u and u2 = 1. Motivated by this invention, then can be constructed the definition of the generalized miu-Moore Penrose inverse which is generalization of the generalized Moore Penrose inverse. The final part of this dissertation describes that vector regression parameter estimators in a linear regression model can be built by the generalized Moore Penrose inverse.

Kata Kunci : elemen reguler, invers dalam, invers Moore Penrose