Ring Bersih-g(x) Kuat

FRISCA MAREYTA PONGOH, Dr.rer.nat. Indah Emilia Wijayanti, M.Si.

2015 | Tesis | S2 Matematika

Diberikan ring R merupakan ring dengan elemen satuan, notasi C(R) menyatakan himpunan elemen center ring R, dan polinomial tertentu g(x) di C(R)[x]. Ring R dikatakan bersih-g(x) kuat, jika setiap elemen r 2 R dapat dinyatakan sebagai r = e + u dengan g(e) = 0, u merupakan suatu unit di R, dan eu = ue. Dalam tesis ini dibahas sifat-sifat ring bersih-g(x) dan ring bersih-g(x) kuat serta hubungan keduanya. Dibahas juga konsep tentang ideal bersih. Dari konsep ini, diperkenalkan definisi dan beberapa sifat ideal bersih-g(x) beserta contohnya. Pada ring R disyaratkan polinomial g(x) memiliki sekurang-kurangnya dua akar di R agar ring R bersih-g(x). Akan tetapi diberikan contoh ideal di ring R yang bersih- g(x) untuk suatu g(x) tertentu dengan g(x) hanya memiliki satu akar di R.

Let R be an associative ring with identity, let C(R) denoted the center of R, and let g(x) be a polynomial in the polynomial ring C(R)[x]. Ring R is called strongly g(x)-clean if every element r in R can be written as r = e + u with g(e) = 0, u is a unit of R, and eu = ue. The relation between strongly g(x)-clean rings and strongly clean rings are determined, some general properties of strongly g(x)-clean rings and clean ideal are given. In this paper, by the definition and properties of clean ideal, we introduce definition and properties of g(x)-clean ideal with some examples of it. If ring R is g(x)-clean we must have that g(x) has at least two roots in R. But, for an ideal in ring R, it can be g(x)-clean although g(x) only has one root in R. The example for this case is given.

Kata Kunci : Ring Bersih, Ring Bersih-g(x) Kuat, Ideal Bersih