MODUL INVARIAN TERHADAP AUTOMORFISMA

DEWA PT WIADNYANA P, Dr.rer.nat. Indah Emilia Wijayanti, M.Si.

2015 | Tesis | S2 Matematika

Modul $M$ dikatakan modul auto invarian jika $M$ invarian terhadap setiap automorfisma pada amplop injektifnya, yaitu $\sigma(M) \subseteq M$ untuk setiap $\sigma \in Aut_R(E(M))$. Setiap \ modul pseudo-injektif \ merupakan \ modul \ auto invarian. Dual dari modul injektif \ adalah modul proyektif. Dualisasi pada modul auto invarian menghasilkan suatu modul yang dikenal dengan modul auto ko-invarian. Modul $M$ merupakan modul auto ko-invarian jika untuk setiap submodul kecil $K_1$ dan $K_2$ di $M$ dan setiap epimorfisma kecil $\sigma : M/K_1 \longrightarrow M/K_2$ dapat diangkat menjadi endomorfisma $\eta$ pada $M$. Dalam tesis ini dibahas tentang sifat-sifat dari modul auto invarian dan auto ko-invarian beserta hubungannya dengan injektifitas dan proyektifitas modul tersebut. Modul auto invarian ekuivalen dengan modul pseudo-injektif. Selain itu juga dibahas tentang syarat cukup agar modul auto invarian merupakan modul \ quasi-injektif. Dilain pihak, setiap \ modul \ pseudo-proyektif merupakan modul auto ko-invaria tetapi \ tidak \ sebaliknya. Jika $R$ ring \ semisempurna \ dan semiprimitif maka setiap modul yang dibangun secara hingga atas $R$ merupakan modul auto ko-invarian.

A module $M$ is said auto invariant module if $M$ invariant under automorphism of its injective envelope, i.e $\sigma(M) \subseteq M$ for every $\sigma \in Aut_R(E(M))$. Every pseudo-injective module is auto invariant module. Dual notion of injective module is projective module. In similar way, the dual notion of auto invarian modul is called auto ko-invarian module. A module $M$ is called auto ko-invarian module if whenever $K_1$ and $K_2$ are small submodules of $M$, then any small epimorphism $\sigma : M/K_1 \longrightarrow M/K_2$ lift to an endomorphism $\eta$ of $M$. In this final project will be discussed about some properties of auto invarian and auto ko-invarian module and relation between auto invariant(ko-invarian) and injectivity(projectivity) concept. Auto invarian module and pseudo-injective module are coincide. Beside of that, will be discussed about a suffient condition of an auto invariant module such that it must be a quasi-injecive module. Every pseudo-projective modules are auto ko-invariant modules but not vice versa. If ring $R$ is semiperfect and semiprimitive then every finitely generated modules over $R$ is auto ko-invariant module.

Kata Kunci : modul auto invarian, modul auto ko-invarian, submodul esensial, submodul kecil.