Syarat Perlu dan Cukup Ring Lokal Komutatif agar Ring Matriksnya Bersih Kuat (Pi-Regular Kuat)

ANAS YOGA NUGROHO, Dr. Budi Surodjo, M.Si.

2014 | Tesis | S2 Matematika

Ring R dikatakan ring pi-regular kuat jika setiap elemen R merupakan elemen pi-regular kiri dan merupakan elemen pi-regular kanan. Lebih lanjut, setiap elemen pi-regular kuat dapat dinyatakan sebagai jumlahan elemen unit dan elemen idempoten yang komutatif terhadap operasi perkaliannya. Akibatnya, setiap elemen pi-regular kuat merupakan elemen bersih kuat. Ring lokal komutatif merupakan salah satu contoh ring bersih kuat, tetapi belum tentu merupakan ring pi-regular kuat. Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilakukan, syarat perlu dan cukup ring lokal komutatif R merupakan ring pi-regular kuat adalah J(R) merupakan Nil ideal. Jika ring lokal komutatif R dengan J(R) Nil ideal maka ring matriks Mn(R) merupakan ring pi-regular kuat. Di lain pihak, jika ring lokal komutatif R merupakan ring n-SRC maka ring matriks Mn(R) merupakan ring bersih kuat.

Ring R is called ring strongly pi-regular if every element of R is left pi-regular and right pi-regular. Furthermore, every element of strongly pi-regular can be expressed as the sum of units and idempotent which commute with the multiplication operation. As a result, every element of strongly pi-regular is an element of strongly clean. Commutative local ring is one example of a strongly clean ring, but not necessarily strongly pi-regular ring. Based on the research that has been done, the necessary and sufficient condition of the commutative local ring R said to be a strongly pi-regular ring is if J(R) is a Nil ideal. If commutative local ring R with J(R) Nil ideal then the matrix ring Mn(R) is a strongly pi-regular ring. On the other hand, if the commutative local ring R is an n-SRC ring then matrix ring Mn(R) is strongly clean ring.

Kata Kunci : ring pi-regular kuat, ring bersih kuat, ring lokal komutatif