HUBUNGAN MODUL DEDEKIND DENGAN MODUL PHI MELALUI MODUL INVERTIBEL DAN MODUL PADAT

AWAN KURNIADI, Prof. Dr. Sri Wahyuni, M.S.

2014 | Skripsi | MATEMATIKA

Diberikan R-modul M, R ring komutatif dengan elemen satuan 1R dan diberikan submodul N di M. Diberikan S himpunan elemen- elemen bukan pembagi nol dari R dan T = fs 2 Sjsm = 0 untuk suatu m 2 M berakibat m = 0g. Dibentuk RT ring hasil bagi dari ring R atas T. Submodul N di M dikatakan invertibel jika untuk setiap submodul N mempunyai invers di M, atau untuk setiap N submodul di M, terdapat N0 = fx 2 RT jxN ?? Mg sedemikian sehingga N0N = M. Selanjutnya jika setiap submodul N di M mempunyai invers maka M disebut modul Dedekind. Selanjutnya dari modul M dan submodul N di M dibentuk Hom(N;M) himpunan semua homomorfisma dari N ke M. Submodul N dikatakan padat di M jika untuk setiap m di M terdapat sejumlah berhingga ??i 2 Hom(N;M) dan sejumlah P berhingga xi 2 N dengan i = 1; 2; :::n sedemikian sehingga m = n i=1 ??i(xi). Selanjutnya modul yang setiap submodulnya merupakan submodul padat disebut modul ??. Pada akhirnya akan dibuktikan bahwa modul Dedekind yang multiplikatif dan faithful merupakan modul ??.

Let M be a R-module with R is a commutative ring with 1R and let N be a submodule of M. Let S be a multiplicative closed subset R containing no zero divisors of R and T = fs 2 Sjsm = 0 for some m 2 M implies m = 0g. From R and T, a quotient ring of R over T is formed which is denoted as RT . Submodule N of M is said to be invertible if every submodule N have an inverse in M, or for every submodule N in M, there exist an N0 = fx 2 RT jxN ?? Mg such that N0N = M. Furthermore, if every submodules N of M is invertible then M is called Dedekind module. Furthermore from R-moduleM and submodule, a set of all homomorphisms from N to M is formed which is denoted as Hom(N;M). Submodule N is said to be dense in M if for every m in M there exists a finite family f??ig of elements in Hom(N;M) and a finite family xi of elements in N with i = 1; 2; :::n such that m = Pn i=1 ??i(xi). Furthermore, if every submodule N of M is dense then M is called ??-module. Of this final project, it is shown that any faithful multiplication Dedekind modules are ??-modules.

Kata Kunci : -