UKURAN KURVATUR FRAKTAL PADA HIMPUNAN SERUPA DIRI

Ari Puji Prasetiyo, Prof. Dr.rer.nat. Widodo, MS.

2013 | Tesis | S2 Matematika

Ukuran kurvatur merupakan salah satu konsep penting pada teori ukuran geometris dan bidang lain yang mendeskripsikan aspek geometris dari himpunan di ruang Euclid. Namun demikian konsep “klasik” dari kurvatur tidak dapat digunakan secara langsung pada himpunan fraktal. Untuk menjembatani hal ini diperkenalkan konsep ukuran kurvatur fraktal. Untuk himpunan kompak tak kosong (misalnya fraktal), dipelajari himpunan paralel– dari yaitu * ( ) + dan seiring diharapkan limitnya akan memberikan informasi mengenai struktur dari himpunan . Secara khusus dilakukan investigasi terhadap perilaku limit dari kurvatur total (atau volume intrinsik) ( ), , selain perilaku limit lemah dari ukuran kurvatur yang bersangkutan ( ) seiring . Secara berurutan hal tersebut memberikan konsep atas kurvatur fraktal dan ukuran kurvatur fraktal. Salah satu dari kurvatur fraktal identik dengan kandungan Minkowski. Untuk keluarga tertentu dari himpunan serupa diri, diberikan jaminan eksistensi dari kurvatur fraktal (rata– rata). Nilai limit ini dapat dihitung secara eksplisit dan pada himpunan serupa diri tertentu yang tak dapat dibedakan dari sudut pandang dimensi memberikan nilai yang berbeda. Berdasarkan hasil ini juga diberikan karakterisasi terhadap ukuran kurvatur fraktal untuk keluarga himpunan yang bersangkutan.

Curvature measures are an important tool in geometric measure theory and other fields of mathematics for describing the geometry of sets in Euclidean space. But the “classical” concepts of curvature are not directly applicable to fractal sets. In order to bridge this gap between geometric measure theory and fractal geometry by introducing a notion of curvature for fractals. For compact sets (e.g. fractals), for which classical geometric characteristic such as curvatures is not available, this notions for their –parallel sets * ( ) + are studied instead, expecting that their limiting behaviour as does provide information about the structure of the initial set . In particular, the limiting behaviour of the total curvatures (or intrinsic volumes) ( ), , are investigated as well as weak limits of the corresponding curvature measures ( ) as . This leads to the notions of fractal curvature and fractal curvature measure, respectively. The well–known Minkowski content appears in this concept as one of the fractal curvatures. For certain classes of self–similar sets, results on the existence of (averaged) fractal curvatures are presented. These limits can be calculated explicitly and are in a certain sense “invariants” of the sets, which may help to distinguish and classify fractals. Based on these results also the fractal curvature measures of these sets are characterized.

Kata Kunci : -