FUNGSI LYAPUNOV DAN STABILITAS GLOBAL UNTUK MODEL EPIDEMIOLOGI SIR DAN SIRS DENGAN TRANSMISI NON-LINIER

HASRIANI ISHAK, S.Si, Dr. Lina Aryati, MS

2013 | Tesis | S2 Matematika

Kestabilan titik ekuilibrium dari sistem dengan menggunakan fungsi Lyapunov akan dibahas pada tesis ini. Fungsi Lyapunov digunakan untuk mengetahui kestabilan global dari model epidemik konpartemen dua dimensi, dengan fungsi umum f(S,I) sebagai laju transmisi nonlinier, dengan sifat f(S,I) naik monoton terhadap S dan I dan konkaf terhadap I. Pada Tesis ini, dua model epidemik akan didiskusikan, yaitu Model SIR dan SIRS. Dua titik ekuilibrium diperoleh dari model SIR maupun SIRS dengan cara yang sama menggunakan fungsi Lyapunov. Titik ekuilibrium tersebut adalah titik ekuilibrium yang stabil asimtotik lokal untuk semua nilai parameter yang memenuhi kondisi tertentu. Untuk semua nilai parameter yang memenuhi kondisi tertentu, jika diambil nilai awal dekat dengan titik ekuilibrium, untuk waktu yang lama terdapat dua kemungkinan, yaitu populasi rentan dan populasi terinfeksi tidak akan punah, atau populasi terinfeksi punah dan populasi kelas rentan tidak punah. Selanjutnya untuk nilai parameter yang memenuhi kondisi tertentu, dalam waktu yang lama dengan sebarang nilai awal, semua populasi tetap eksis. Simulasi numerik diberikan untuk mengilustrasikan kestabilan titik ekuilibrium.

The stability of the equilibrium point of the system using Lyapunov function is discussed in this thesis. Lyapunov function is used for the global stability of dimensional compartment epidemic model with the common function f(S,I) as non linear transmission rates, with f(S,I) of characteristics is monotonically increase with respect to S and I and concave with respect to I. In this thesis, two epidemic models are discussed, those are SIR and SIRS. Two equilibrium points from SIR or SIRS are obtained using equivalent way of Lyapunov function, They must be local asymptotically stable for all appropriate parameter value. With appropriate parameter value and initial value near equilibrium points, then for along time, there are two possibilities, those are the susceptible population and infected population will be existent, or the infected population extinctand suspectible population will be existent. Furthemore, with appropriate parameter value, for a long time, all population will be existent for any initial value. Numerical simulations are given to ilustrate stability behaviour of equilibrium point.

Kata Kunci : Fungsi Lyapunov, model SIR, populasi