ALJABAR LINTASAN ATAS LAPANGAN DAN REPRESENTASI QUIVER

VIKA YUGI KURNIAWAN, Dr.rer.nat Indah Emilia Wijayanti, M.Si.

2012 | Tesis | S2 Matematika

Pada sebarang quiver 􀜳dan lapangan 􀜭dapat didefinisikan suatu K-aljabar yang disebut dengan aljabar lintasan 􀜭􀜳yang memiliki basis berupa himpunan semua lintasan yang ada pada quiver tersebut. Sebaliknya, untuk suatu aljabar berdimensi hingga 􀜣dapat ditentukan sebuah quiver 􀜳􀮺 yang mewakilinya. Selanjutnya, untuk quiver secara umum maupun quiver dari suatu aljabar dapat didefinisikan representasi quiver ℛ = (􀜸􀯜 , 􀝂􀰈) . Representasi quiver merupakan cara penempatan ruang vektor pada setiap titik-titik dari quiver 􀜳dan pemetaan linier pada setiap panah-panahnya. Sebuah representasi yang tidak memiliki subrepresentasi sejati selain nol disebut sebagai representasi sederhana. Selanjutnya apabila 􀜸dan 􀜹 merupakan representasi dari suatu quiver 􀜳, maka dapat didefinisikan suatu representasi baru yang disebut sebagai jumlahan langsung dari 􀜸dan 􀜹, dan dinotasikan dengan 􀜸⨁􀜹. Suatu representasi ℛ dari quiver 􀜳dikatakan indekomposabel apabila ℛ tidak isomorfis dengan suatu jumlahan langsung dari dua buah representasi yang tak nol. Pada tesis ini, akan dipelajari sifat-sifat dari suatu representasi quiver ℛ. Selain itu, akan diselidiki syarat perlu dan cukup dari suatu representasi sehingga menjadi representasi sederhana dan representasi indekomposabel.

On any quiver 􀜳and a field 􀜭, we can define a 􀜭-algebra which is called a path algebra 􀜭􀜳. This path algebra has a basis that is the set of all paths in the quiver. Conversely, a finite dimensional algebra 􀜣can be obtained by a quiver 􀜳􀮺. Furthermore, a quiver representation ℛ = (􀜸􀯜 , 􀝂􀰈) can be formed on any quiver. A representation of a quiver 􀜳is an assignment of a vector space to each vertex and a linear mapping to each arrow. A representation which has no proper subrepresentation except zero is called a simple representation. Furthermore, if 􀜸and 􀜹 are the representations of quiver 􀜳, then it can be formed a new representation which is called a direct sum of V and W and denoted by 􀜸⨁􀜹. A representation ℛ of the quiver 􀜳is called indecomposable representation if ℛ is not isomorphic to a direct sum of two nonzero representations. In this thesis, we study the properties of a representation quiver ℛ. Moreover, we investigate the necessary and sufficient condition of a representation quiver ℛ to be a simple representation and indecomposable representation.

Kata Kunci : aljabar lintasan, representasi quiver