FUNGTORIALITAS DAN ISOMORFISMA ALJABAR INSIDENSI SUATU PARTIALLY ORDERED SET (POSET )

Ema Carnia, Dra.,M.Si., Prof. Dr. Sri Wahyuni, M.S.

2011 | Disertasi | S3 Matematika

Dalam pembentukan suatu fungtor dari kategori poset ke kategori aljabar diperlukan pengaitan antar objek dan pengaitan antar morfisma pada kedua kategori. Kategori aljabar insidensi merupakan bagian dari kategori aljabar. Dari suatu poset dan ring komutatif dapat dibentuk suatu aljabar insidensi. Secara umum morfisma pada kategori poset tidak menginduksi morfisma pada aljabar insidensinya. Hal ini mengakibatkan fungtor yang terbentuk tidak berjalan dengan baik. Ada dua cara yang sudah dilakukan untuk memperbaiki fungtornya, yang pertama mendefinisikan bimodul atas aljabar insidensi yang berfungsi sebagai morfismanya dan yang kedua melakukan pembatasan pada posetnya yaitu bekerja pada Simplicial Complex. Dalam disertasi ini dibuat fungtor lain yang baru, yaitu fungtor dari kategori poset ke kategori Simplicial Complex. Hal ini dilakukan agar dapat diperoleh fungtor dari kategori poset ke kategori aljabar dengan cara menggunakan komposisi fungtor dan memanfaatkan fungtor yang sudah ada, yaitu fungtor dari kategori simplicial complex ke kategori aljabar. Pada umumnya aljabar insidensi didefinisikan pada poset yang berhingga lokal agar operasi mulitiplikasinya terdefinisi dengan baik. Di sini dibuat definisi yang baru tentang aljabar insidensi yang didefinisikan pada sembarang poset namun diberikan syarat tambahan berupa keterhinggaan pada sub posetnya, sehingga masih dapat mendefinisikan aljabar insidensi yang disebut aljabar insidensi finitary. Dengan menggunakan definisi yang baru ternyata diperoleh fungtor kovarian dari kategori poset ke kategori aljabar. Selain itu beberapa masalah isomorfisma dalam aljabar insidensi finitary diselesaikan dengan menggunakan definisi tersebut. Khusus untuk masalah isomorfik secara potensial harus ada syarat tambahan pada salah satu posetnya. Dari kategori Simplicial Complex dapat diperoleh fungtor kovarian ke kategori grup abelian. Fungtor tersebut berupa grup rantai simplisial yang barisannya akan membentuk kompleks rantai simplisial. Morfisma yang menghubungkan kompleks-kompleks rantai simplisial berupa pemetaan rantai simplisial, yang pada akhirnya diperoleh kategori baru, yaitu kategori kompleks rantai simplisial.

In forming a functor from category of poset to category of algebra, a relation of object and morphism on these categories is needed. Category of incidence algebra is a part of category of algebra. From the poset and commutative ring can be formed an incidence algebra. In general, a morphism on category of poset does not induce morphism on incidence algebra. This implies that the functor formed is not well-generated. There are two methods that have been done to make it running well, first is to define a bimodule on incidence algebra that functioned as the morphism, and second to restrict the poset so that it works on simplicial complexes. In this disertation a new functor is generated: a functor from category of poset to category of simplicial complexes. This is made in order to get a functor from the category of Poset to the category of algebra by using functor composition. In general incidence algebra is defined on locally finite poset so that the multiplicative operation is well-defined. In this disertation, a new definition of incidence algebra is defined on an abritarary poset, but with an additional requirement, that is the finite of its sub poset, so that the incidence algebra can be defined, called finitary incidence algebra. With this new definition, it is found that a covariant functor from category of poset to incidence algebra is obtained, and some isomorphism problems on finitary incidence algebra can be solved by applying this definition. In particular, for potentially isomorphic problem, there must be some additional requirement on one of the poset. Covariant functor can be found from the category of simplicial complexes to the category of abelian groups. The functor is simplicial chain group, which is the sequence of them will form a simplicial chain complex. Morphism which assign simplicial chain complex is simplicial chain map, and finally the new category called category of simplicial chain complex can be obtained.

Kata Kunci : aljabar insidensi, fungtor,kompleks rantai simplisial, simplicial complex.