ALJABAR MAX-PLUS BILANGAN KABUR DAN PENERAPANNYA PADA MASALAH PENJADWALAN DAN JARINGAN ANTRIAN KABUR
M. ANDY RUDHITO, Prof. Dr. Sri Wahyuni, M.Si.
2011 | Disertasi | S3 MatematikaWaktu aktifitas yang tidak diketahui secara pasti dalam suatu jaringan, dapat dimodelkan dengan bilangan kabur. Pemodelan dan analisa jaringan kabur yang sudah ada menggunakan PERT-CPM, pemrograman matematik dan MVA. Disertasi ini akan membahas pendekatan aljabar max-plus untuk pemodelan dan analisa jaringan kabur, yang diharapkan akan memberikan model yang lebih kompak dan hasil yang lebih analitis. Pendekatan ini memerlukan konsep-konsep aljabar max-plus dalam himpunan semua bilangan kabur. Akan dibahas terlebih dahulu generalisasi konsep-konsep dalam aljabar max-plus ke dalam aljabar maxplus bilangan kabur yang meliputi sistem persamaan linear dan nilai eigen. Operasi-operasi pada bilangan kabur dilakukan melalui potongan-ï¡ yang berupa interval pada bilangan real. Dapat ditunjukkan bahwa struktur aljabar max-plus bilangan kabur berupa semiring idempoten komutatif. Himpunan semua matriks atas aljabar max-plus bilangan kabur merupakan semimodul atas aljabar max-plus bilangan kabur. Penyelesaian sistem persamaan linear max-plus bilangan kabur dapat ditentukan dengan terlebih dahulu menentukan penyelesaian setiap sistem interval potongan-ï¡ sistem kabur tersebut. Jika diperlukan dapat dilakukan modifikasi sedemikian hingga potongan-ï¡ setiap komponen penyelesaian tersebut merupakan potongan-ï¡ suatu bilangan kabur. Skalar kabur, yang batas bawah dan batas atas potongan-ï¡-nya berturut-turut merupakan bobot ratarata maksimum sirkuit elementer graf preseden matriks batas bawah dan matriks batas atas matriks potongan-ï¡ dari suatu matriks bilangan kabur persegi, merupakan suatu nilai eigen max-plus bilangan kabur matriks bilangan kabur tersebut. Vektor eigen max-plus bilangan kabur yang bersesuaian dengan nilai eigen tersebut dapat ditentukan melalui vektor eigen fundamental yang bersesuaian dengan nilai eigen interval setiap matriks potongan potongan-ï¡-nya. Jika diperlukan dapat dilakukan modifikasi sedemikian hingga potongan-ï¡ setiap komponen vektor eigen tersebut merupakan potongan-ï¡ suatu bilangan kabur. Dinamika jaringan proyek kabur dapat dimodelkan sebagai sistem persamaan linear iteratif max-plus bilangan kabur di mana penyelesaian sistem tersebut adalah waktu awal tercepat kabur yang berasal dari setiap titik. Dalam jaringan antrian serial tertutup kabur, untuk suatu tingkat resiko yang diberikan, dapat ditentukan waktu keberangkatan awal tercepat pelanggan, sehingga interval waktu keberangkatan pelanggan akan berada dalam interval terkecil yang batas bawah dan batas atasnya periodik.
The activities time that are not known exactly in a network, can be modeled with fuzzy numbers. Modeling and analysis of existing fuzzy networks using PERT-CPM, mathematical programming and MVA. This dissertation will discusses the max-plus algebra approach for modeling and analysis of fuzzy networks, which are expected to provide a more compact model and the results are more analytical. This approach requires the concepts of max-plus algebra in the set of all fuzzy numbers. Will be discussed firstly generalize the concepts of max-plus algebra into the max-plus algebra fuzzy numbers which include systems of linear equations and eigenvalue. Operations on fuzzy numbers are done through ï¡-cut in the form of intervals on real numbers. The finding shows that the fuzzy numbers max-plus algebra structure is a commutative idempotent semiring. The set of all matrices over fuzzy number max-plus algebra is a semimodule over fuzzy number max-plus algebra. Solution of system of fuzzy number max-plus linear equations can be determined by first determining the solution of each ï¡-cut interval system of the fuzzy system. If necessary, it can be modified such that the ï¡-cut of each entry of the solution is the ï¡-cut of a fuzzy numbers. A fuzzy scalar, where the lower bound and upper bound of its ï¡-cut are maximum mean weight of elementary circuit in precedence graph of lower bound and upper bound of ï¡-cut matrix of a square fuzzy number matrix, respectively, is a fuzzy numbers max-plus eigenvalue of the fuzzy numbers matrix. Fuzzy number max-plus eigenvector associated with these eigenvalues can be determined through fundamental eigenvectors associated with the interval eigenvalues of each ï¡-cut matrix of a square fuzzy number matrix. If necessary, it can be modified such that the ï¡-cut of each entry of the eigenvector is the ï¡-cut of a fuzzy number. Fuzzy project network dynamics can be modeled as an iterative system of fuzzy number max-plus linear equations where the solution of the system is the fuzzy earliest starting time from every node. In a fuzzy serial closed queuing network, for a given level of risk, it can be determined the earliest of early departure time of a customer, so that the customer's departure interval time will be in the smallest interval where the lower bound and upper bound are periodic.
Kata Kunci : aljabar max-plus, bilangan kabur, sistem persamaan linear, nilai eigen, penjadwalan kabur dan jaringan antrian kabur
