PROYEKSI PADA ALJABAR MAX-PLUS PROJECTION IN MAX-PLUS ALGEBRA

Musthofa,S.Si, Dr. Ari Suparwanto, M.Si.

2011 | Tesis | S2 Matematika

Proyeksi merupakan pemetaan linear yang idempoten. Pada ruang vektor V, pemetaan P: V ® V merupakan proyeksi jika dan hanya jika V merupakan direct sum dari image P dan kernel P. Karena image P dan kernel P merupakan subruang dari V, maka eksistensi proyeksi pada ruang vektor ekuivalen dengan eksistensi subruang V1 dan V2 dari V sehingga V merupakan direct sum dari V1 dan V2. Jika V1 merupakan subruang dari V, maka terdapat B, C Î hom (V,V) sehingga V1 = im B dan V1 = ker C. Akibatnya, eksistensi proyeksi pada ruang vektor V ekuivalen dengan eksistensi B,C Î hom(V,V) sehingga V merupakan direct sum dari im B dan ker C. Pada semimodul, kernel suatu homomorfisma bukan merupakan subsemimodul. Oleh karena itu, jika B: U ® X dan C : X ® Y merupakan homomorfisma semimodul, untuk menentukan eksistensi proyeksi pada im B sejajar ker C digunakan sifat yang lebih umum. Pada semimodul, terdapat proyeksi pada im B sejajar ker C jika dan hanya jika untuk setiap x Î X, terdapat dengan tunggal z Î im B sehingga C(x) = C(z). Lebih khusus pada semimodul atas Rmax, hal ini ekuivalen dengan eksistensi K Î hom ( X, U) dan L Î hom(Y, X) sehingga C = CBK dan B = LCB. Selanjutnya menggunakan residuasi matriks atas semiring idempoten, eksistensi K dan L dapat ditentukan dengan mencari elemen maksimal dalam { K / CBK ≤ C } dan { L / LCB ≤ B }. Jika elemen maksimalnya memenuhi persamaan CBK = C dan LCB = B maka P = BK = LC merupakan proyeksi pada im B sejajar ker C.

Projection is idempotent linear mapping. In vector space V, the mapping P : V ® V is a projection if and only if V is direct sum of image P and kernel P . Since image P and kernel P are subspaces of V, then the existence of projection on the vector space is equivalent to the existence of two the subspaces V1 and V2 of V such that V is the direct sum of V1 and V2. For any subspace V1 of V, there exist B,C Î hom(V,V) such that V1 = im B and V1 = ker C. Consequently, the existence of projection on the vector space V is equivalent to the existence of B,C Î hom(V,V) such that V is direct sum of im B and ker C. In semimodule, kernel of an homomorphism is not subsemimodule. Consequently , if B: U ® X and C : X ® Y are semimodule homomorphisms, generalization is needed to determine the existence of projection on im B parallel to ker C. In semimodule, there is a projection on im B parallel to ker C if and only if for each x Î X, there exist a unique z Î im B, such that C(x) = C(z). Especially in max ℝm´n semimodule, this condition is equivalent to the existence of K Î hom(X,U) and L Î hom (Y,X) such that C = CBK and B = LCB. The existence of K and L can be determined by getting the maximal element of { K / CBK ≤ C } and { L/ LCB ≤ B } from residuation of matrices over idempotent semiring. If the maximal elements are satisfy with C = CBK and B = LCB then P = BK = LC is a projection on image B parallel to kernel C.

Kata Kunci : Proyeksi, semiring, semimodul