Fungsional linear kontinu pada ruang fungsi terintegral Henstock dan Henstock-Bochner

RIYADI, Promotor Prof. Dr. Soeparna Darmawijaya

2009 | Disertasi |

Disertasi ini menggeneralisasikan (mengitlakkan) fungsional linear kontinu pada ruang fungsi terintegral Henstock dan Henstock-Bochner dari sel [¯a;¯b] ½ Rn secara berturut-turut ke sistem bilangan real R dan ruang Banach X. Generalisasi pertama dilakukan dengan mengubah interval [a; b] ½ R menjadi sel [¯a;¯b] ½ Rn. Generalisasi kedua dilakukan dengan mengubah fungsi bernilai real,menjadi fungsi bernilai Banach. Berdasarkan penelitian masalah yang sama pada interval [a; b] di dalam sistem bilangan real, mula-mula dikonstruksi fungsi bervariasi terbatas pada sel [¯a;¯b] di dalam ruang Euclide Rn. Di samping itu, dikonstruksi pula fungsi bervariasi kemiringan terbatas pada I(E) di dalam ruang Euclide Rn. Berdasarkan konsep-konsep tersebut, dikonstruksi dan dibuktikan syarat perlu dan cukup terintegralnya suatu fungsi yang bervariasi terbatas pada sel [¯a;¯b]. Setelah dikonstruksi dan dibuktikan bahwa ruang fungsi terintegral Henstock yang didefinisikan pada sel [¯a;¯b] ½ Rn merupakan ruang bernorma, pada akhirnya dikonstruksi dan dibuktikan syarat perlu dan cukup agar fungsional yang didefinisikan pada ruang fungsi. terintegral Henstock pada sel [¯a;¯b] ½ Rn bersifat linear dan kontinu. Selanjutnya, hasil-hasil pada alinea kedua tersebut di atas digeneralisasikan ke ruang fungsi yang lebih umum, yaitu ruang Banach. Mula-mula dikonstruksi fungsi bernilai Banach yang bervariasi terbatas pada sel [¯a;¯b] dan bervariasi kemiringan terbatas pada I(E) di dalam ruang Euclide Rn. Dikonstruksi pula derivatif fungsi titik dan fungsi himpunan bernilai Banach pada sel [¯a;¯b] di dalam ruang Euclide Rn. Berdasarkan konsep-konsep tersebut, dikonstruksi dan dibuktikansyarat perlu dan cukup terintegralnya suatu fungsi bernilai Banach yang bervariasi terbatas pada sel [¯a;¯b]. Setelah dikonstruksi dan dibuktikan bahwa ruang fungsi terintegral Henstock-Bochner yang didefinisikan pada sel [¯a;¯b] ½ Rn merupakan ruang bernorma, pada akhirnya dikonstruksi dan dibuktikan syarat perlu dan cukup agar fungsional yang didefinisikan pada ruang fungsi terintegral Henstock-Bochner pada sel [¯a;¯b] ½ Rn bersifat linear dan kontinu. Dengan demikian hasil-hasil penelitian yang termuat di dalam alinea kedua merupakan kasus-kasus khususnya.

In this dissertation, we generalize the continuous-linear functional defined on the space of all Henstock integrable functions and the space of all Henstock-Bochner integrable functions from a cell [¯a;¯b] ½ Rn to the real number system R and Banach space X, respectively. The first generalization is done by changing interval [a; b] ½ R to be a cell [¯a;¯b] ½ Rn. The second generalization is done by generalizing the real number valued-function to be a Banach-valued function Based on researching in the similar problems on an interval [a; b] in the real number system R, firstly we construct bounded variation function defined on a cell [¯a;¯b] in the Euclidean space Rn. Besides that, we also construct boundedslope variation function defined on I(E) in the Euclidean space Rn. Based on these concepts, we construct and prove the necessary and sufficient condition for integrability of a function which has bounded variation on a cell [¯a;¯b]. After constructing and proving that the function space of all Henstock integrable functions defined on a cell [¯a;¯b] ½ Rn is a norm space, finally we construct and prove the necessary and sufficient condition of a functional on the function space of all Henstock integrable functions defined on a cell [¯a;¯b] ½ Rn to be linear and continuous. Furthermore, the results in the second paragraph mentioned above are generalized into a more general space, that is a Banach space. Firstly, we construct bounded variation on a cell [¯a;¯b] and bounded slope variation of a Banach-valued function defined on I(E) in the Euclidean space Rn. We also construct derivative of a point and an interval Banach-valued function defined on a cell [¯a;¯b] in the Euclidean space Rn. Based on these concepts, we construct and prove the necessary and sufficient condition for integrability of a Banach-valued function which has bounded variation on a cell [¯a;¯b]. After constructing and proving that the function space of all Henstock-Bochner integrable functions defined on a cell [¯a;¯b] ½ Rn is a norm space, finally we construct and prove the necessary and sufficient condition of a functional on the function space of all Henstock-Bochner integrable functions defined on a cell [¯a;¯b] ½ Rn to be linear and continuous. Clearly, the results in the second paragraph are special cases of those in the third paragraph.

Kata Kunci : Bervariasi kemiringan terbatas, Henstock-Bochner, Fungsional, Linear kontinu