Ruang solusi sistem diferensial tundaan melalui pendekatan aljabar

PRAMUDYA, Ikrar, Promotor Prof. Dr. Sri Wahyuni, M.S

2008 | Disertasi |

Penelitian sistem atas ring muncul termotivasi oleh adanya sistem diferensial tundaan linear berbentuk:xSIMBOL = A(σ)x +B(σ)u (1) dengan σ menyatakan operator tundaan. Bentuk persamaan sistem (1) dengan matriks penyusun sistem (A(σ),B(σ)) adalah matriks atas ring R[σ] telah memotivasi para peneliti matematika untuk mengembangkan teori sistem atas ring. Akan tetapi hasil-hasil penelitian mereka tidak menyinggung solusi maupun ruang solusi sistem. Pada umumnya topik-topik penelitian mereka membahas sifat-sifat yang terkait dengan ketercapaian, keterobservasian, kestabilan, ketertandaan kutub, dan sifat-sifat lain yang relevan yang tidak terkait dengan solusi maupun ruang solusi sistem. Untuk melengkapi hasil-hasil penelitian yang sudah ada, penelitian ini diarahkan untuk menurunkan sifat-sifat yang terkait dengan ruang solusi sistem sekaligus menyusun algoritma penentuan ruang solusi sistem. Pada awalnya fokus penelitian ini adalah meneliti sifat-sifat yang terkait dengan ruang solusi sistem (1). Dalam perkembangannya ternyata bentuk system bisa diperumum sehingga memperluas ruang lingkup aplikasinya. Karena system (1) pada hakekatnya menyatakan sistem persamaan diferensial tundaan setaraf linear maka sifat-sifat yang terkait dengan operator diferensial dan operator tundaan berperan penting dalam pembahasan masalah. Untuk menyederhanakan permasalahan, ruang solusi sistem (1) dibatasi pada ruang fungsi dari R ke C yang diferensiabel di setiap tingkat yang disimbolkan dengan L. Lebih khusus lagi, ruang solusi dapat pula dibatasi pada subruang L, misalnya dibatasi pada Le.pol . Ruang fungsi L dan Le.pol ini mempunyai sifat-sifat yang istimewa yang memudahkan dalam proses analisis masalah. Sifat-sifat istimewa tersebut, antara lain, adalah L dan Le.pol membentuk ruang vektor atas C sekaligus membentuk modul atas H dengan H suatu daerah pembagi elementer. Himpunan H memuat subringsubring: R[d,σ], R[d,σ,σ-1], dan H0. Sistem (1) merupakan bentuk khusus dari sistem persamaan: Ax = x0 (2) dengan A ∈ H nxn dan x0 ∈ n Le.pol . Selain itu, setiap p ∈ H \{0} merupakan endomorfisma surjektif pada Le.pol . Sifat-sifat istimewa tersebut menjadikan teoremateorema yang berlaku pada aljabar linear dapat didayagunakan untuk menentukan solusi khusus persamaan: pf = f0 dengan p ∈ H \{0} dan f0 ∈ Le.pol . Matriks penyusun sistem (2) adalah matriks atas ring dan solusi sistem (2) pada n Le.pol dijamin selalu ada. Oleh karena itu sifat-sifat yang berlaku pada ring maupun modul juga banyak berperan dalam analisis masalah. Adapun hasil-hasil penelitian yang diperoleh secara garis besar adalah (1) syarat cukup suatu sistem persamaan diferensial tundaan mempunyai solusi adalah determinan matriks penyusun sistem tidak sama dengan nol dan input system terletak di n Le.pol , (2) secara umum permasalahan ruang solusi sistem berdimensi lebih dari satu selalu dapat dibawa kembali ke permasalahan sistem persamaan berdimensi satu melalui proses diagonalisasi terhadap matriks penyusun sistem, (3) sifat-sifat yang terkait dengan solusi dan ruang solusi sistem persamaan diferensial dengan maupun tanpa tundaan telah diperoleh sehingga dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang terkait dengan hal tersebut, dan (4) algoritma menentukan ruang solusi sistem persamaan diferensial tundaan telah diperoleh sehingga secara teoritis ruang solusi sistem persamaan diferensial tundaan dapat ditentukan secara analitis dan dengan tahapan langkah perhitungan yang sistematis.

In general an investigation in system over ring is motivated by linear delaydifferential system of form: xSYMBOL = A(σ)x +B(σ)u (1) with σ is a delay operator. The form of system (1) with (A(σ),B(σ)) as constructive matrices of system are matrices over ring R[σ] motivated mathematiciants to develop theory of system over ring. Their results don’t discuss both the solution and the solution space of system. Their topics of research discuss the properties relating to reachability, observability, pole assignability, stabilizability, and the other properties, that is, not relevant with the solution or the solution space of system. To complete their research results, this investigation was focused to characterize the solution space of delay-differential system and to develop the algorithm determining the solution space of system. At beginning the focus of research is to investigate characteristics of solution space of system (1). Further, the form of system is generalized so that the space of implementation become larger than previously. In fact, system (1) is linear delay-differential system with commensurate delays, so the properties relevant with differential and delay operators is useful to analysis the problems. To simplify the problem, the solution space of system (1) is restricted on the space L, the set of all infinitely differentiable function from R to C, especially on Le.pol . The set L and Le.pol have the special characteristics and by that analysis can be done easily. The set L and Le.pol form both vector space over C and module over H where H is an elementary divisor domain. Subring R[d], R[d,σ], R[d,σ,σ-1], and H0 are included in H. The system (1) is special cases of system: Ax = x0 (2) where A ∈ H nxn and x0 ∈ n Le.pol . Furthermore, for each p ∈ H \{0} is a surjective endomorphism on the space Le.pol . With its special characteristics, we can use the properties which hold in linear algebra to determine partial solution of equation pf = f0 where p ∈ H \{0} and f0 ∈ Le.pol . The constructive matrix A of system (2) is matrix over ring. The solution of system is existence. Therefore the properties that hold in both ring and module theory is useful to analyze the problem. The main investigation results are (1) sufficiencies for the delay-differential system has a solution are the determinant of the constructive matrix of system is nonzero and input of system in n Le.pol , (2) the problematical delay-differential system always can be change to the problematical one-dimensional system via diagonalizing process to its constructive matrix, (3) the properties relating to the solution and the solution space of delay-differential system are obtained. So, they can be used to solve the relevant problems, and (4) the algorithm determining the solution space of system are obtained. It means that the solution of delay-differential system can be determined systematically.

Kata Kunci : Ruang solusi sistem,Persamaan sistem,Solusi sistem