Struktur Koaljabar Gelanggang Deret Pangkat Teritlak

SURODJO, Budi, Promotor Prof.Drs. Setiadji, SU

2006 | Disertasi | S3 MIPA (Matematika)

Gelanggang deret pangkat teritlak (GDPT) merupakan hasil pengitlakan gelanggang deret pangkat formal, dengan mengambil eksponen berupa elemenelemen monoid terurut parsial. Konstruksi GDPT sangat dipengaruhi oleh struktur komponen penyusunnya, yaitu gelanggang komutatif dan monoid terurut tegas. Di sisi lain struktur koaljabar suatu bimodul atas suatu gelanggang ditentukan oleh struktur komultiplikasi dan kounit pada bimodul tersebut. Dua jenis homomorfisma ini tidak selalu dapat ditemukan, baik pada bimodul itu sendiri maupun pada dualnya. Untuk itu penelitian ini bertujuan menentukan syarat cukup koaljabar di dalam GDPT, di dalam dual GDPT, dan koaljabar atas GDPT, dengan memberikan syarat khusus kepada komponen penyusunnya. Di dalam disertasi ini, penelitian dilakukan dengan mengkombinasikan struktur GDPT sebagai gelanggang, modul dan aljabar. Dengan memandang GDPT sebagai gelanggang dan modul dapat ditunjukkan, bahwa GDPT merupakan aljabar. Hal ini memungkinkan digunakannya pengontruksian koaljabar melalui dual aljabar GDPT, khususnya melalui monoid yang Artin. Secara umum GDPT R[[S]] bukan merupakan bimodul bagian RS atas gelanggang polinomial monoid R[S] terhadap pergandaan yang dibentuk oleh S-action. Kondisi ini dapat dihilangkan dengan memberi syarat kanselatif terhadap urutannya ke dalam monoid S. Cara lain yang dapat dilakukan adalah dengan mengonstruksi bimodul atas gelanggang polinomial melalui C(S) sebagai monoid bagian S. Selanjutnya, kondisi yang sangat menentukan eksistensi koaljabar di dalam R[[S]] atas R adalah kondisi kehinggaan pembangun R[S]g untuk sebarang g 2 R[[S]]. Untuk itu penyelidikan difokuskan pada elemen minimal supp(g). Dengan langkah ini dapat diidentifikasi keberadaan komponen pembangun R[S]g sebagai modul atas R, sehingga struktur (R[[S]])f dapat dipelajari dengan lebih mudah dan dapat ditentukan syarat cukup agar (R[S])f = R[S]. Jika R gelanggang Noether dan (R[[S]])f modul bagian murni RS atas R, maka dapat ditemukan komultiplikasi dan kounit yang menyebabkan (R[[S]])f koaljabar atas R. Namun oleh karena setiap modul atas gelanggang semisederhana dan Artin pasti proyektif, maka kedua syarat tersebut dapat diganti dengan R gelanggang semisederhana dan Artin. Gelanggang deret pangkat formal (GDPF) R[[x]] dan GDPT R[[N]] merupakan bentuk khusus GDPT. Sebagai aplikasi sifat-sifat koaljabar di dalam GDPT dan koaljabar atas GDPT dapat dibuktikan eksistensi koaljabar di dalam GDPF, koaljabar atas GDPF, dan koaljabar R[[N]], sebagai gelanggang bagian R[[S]], dengan S monoid terurut tegas yang tidak nol dan bebas torsi.

A generalized power series ring (GPSR) is a generalization effect of a formal power series ring, taking its exponents in the form of elements of partially ordered monoid. GPSR construction depends on the structures of its components, i.e., the commutative ring and the strictly ordered monoid. In another side, coalgebra structures of a bimodule over a ring are determined by the structures of its comultiplication and counit. These two kind of homomorphisms exist, neither on the bimodule itself nor on the dual of the bimodule. This research is aimed to determine the sufficient conditions for a module in a GPSR or the dual of a GPSR to be a coalgebra; and a module over GPSR to be a coalgebra. In this sense we give some special conditions on the components. In this dissertation, the investigation is used by combining the structures of rings, modules, and algebras. Considering any GPSR both as a ring and a module we could show that any GPSR was an algebra. This will be used to construct coalgebras via the dual of a GPSR, specially via an Artinian monoid. In general, any GPRS R[[S]] was not a subbimodule of RS over the polynomial ring R[S] with the multiplication that was determined by S-action. This condition could be vanished by giving cancellative condition to its order on S. In another way we could construct every R[S]-bimodules via C(S), as a submonoid of S. Furthermore, the most important condition which determined the existence of coalgebras in R[[S]] over R was the finiteness condition of generators of R[S]g, for any g 2 R[[S]]. For this, our investigation will be focused on the minimal element of supp(g). Using the method, we could identify the existence of the generator components of R[S]g, as an R-module. Consequently we could study the structure of (R[[S]])f easier and then we could determine the sufficient conditions for (R[S])f = R[S]. If R was a Noetherian ring and (R[[S]])f was a pure submodule of RS over R, then there were some comultiplication and counit such that (R[[S]])f was a coalgebra over R. Since every module over any semisimple Artinian ring was always projective, then we could replace the Noetherian condition of R by the semisimple Artinian condition. The ring of formal power series (FPSR) R[[x]] and the GPSR R[[N]] were special form of GPSR. As applications of coalgebras properties in both GPSR and coalgebras over a GPSR, it could be proven that there was an existence of coalgebras of the FPSR, coalgebras over the FPSR, and coalgebras of R[[N]], as subrings of R[[S]] with a non zero strictly ordered monoid and torsion free S.

Kata Kunci : Gelanggang Deret Pangkat Teritlak