an Explicit wavelet-based numerical scheme for solving one and two dimensional heat equation

MUHAMMED, Mahmmod Aziz, Promotor Prof. Adhi Susanto, M.Sc.,Ph.D

2005 | Disertasi | S3 MIPA

Di dalam penelitian ini diusulkan sebuah skema numerik yang menggunakan gelombang singkat (wavelet) Haar dan analisis multiresolusi melalui pendekatan Galerkin untuk memperbaiki metode finite difference eksplisit. Perbaikan itu menyangkut akurasi dan stabilitas penyelesaian numerik karena metode eksplisit itu mempunyai keterbatasan stabilitas yang cukup ketat. Metode Galerkin berbasis wavelet adalah untuk menyatakan penyelesaian numerik dengan menggunakan sebuah basis fungsi agar “selesih” antara penyelesaian eksak dan numerik dapat diminimalkan. Basis fungsi itu adalah fungsi skala dan wavelet Haar yang dapat digeser melalui persamaan dilasi agar resolusi penyelesaian numerik dapat dirubah tanpa melanggar keterbatasan stabilitas sebaliknya tingkat akurasi menjadi lebih tinggi. Untuk mengecek keampuhan skema yang diusulkan dalam hal menangani beberapa situasi yang rumit maka skema itu telah digunakan untuk menyelesaikan persamaan konduksi yang dinyatakan dalam satu dan dua dimensi dan dalam sistem koordinasi yang berbeda. Persamaan konduksi dipilih karena persamaan itu bersifat parabolik sedangkan banyak persamaan yang ditemukan di bidang tekenik dapat dinyatakan dalam bentuk parabolik. Hasil penelitian ini menunjukkan keunggulan skema yang diusulkan atas skema finite difference standar dalam hal stabilitas dan akurasi.

In this research we attempt to show how Haar wavelets and multiresolution analyses can be applied to improve the explicit finite difference method using Galerkin approach. This improvement concerns the accuracy and stability of numerical solution as the explicit numerical scheme suffers from stringent stability restrictions. Wavelet-Galerkin method consists of finding a functional basis for the solution space, projecting the solution on the functional basis, and then minimizing the “residual” with respect to the functional basis. The functional bases for the solution space are Haar scaling and wavelet functions which can be translated through the dilation equation in order to allow for locally refined mesh without violating the stability restriction of the explicit scheme rather the accuracy of numerical solution is enhanced. In order to verify its robustness in handling different situations, the proposed wavelet-based method has been applied to solve the heat equation in both one and two dimensions which is expressed in different coordinate systems. The reason behind the selection of heat equation among other partial differential equations is heat equation is parabolic while many partial differential equations encountered in engineering can be reduced to the parabolic form. The results have shown that wavelet-based numerical solution is more accurate and stable than the one obtained from the conventional explicit scheme.

Kata Kunci : metode Galerkin, gelombang singkat Haar, analisis multiresolusi, persamaan konduksi, Galerkin method, Haar wavelet, multiresolution analysis, heat equation