Sifat-Sifat dari Matriks Khusus H? yang Berkaitan dengan Matriks Definit Positif

Aradea Kharisma Ashar Putri, Dr. Sutopo, S.Si., M.Si.

2025 | Skripsi | MATEMATIKA

Dimisalkan H adalah matriks real simetris definit positif berukuran 2n x 2n. Hasil kali Hadamard dari H dengan dirinya sendiri, dinotasikan dengan H ? H, didefinisikan sebagai suatu matriks berukuran 2n x 2n dengan entri (H ? H)ij = (Hij)². Matriks H ? H kemudian dipartisi menjadi empat blok sebagai berikut: H ? H =

[ H11²   H12² ]

[ H21²   H22² ],

dengan setiap blok Hij² adalah submatriks berukuran n x n dari matriks H ? H. Berdasarkan partisi tersebut, didefinisikan suatu matriks khusus yang dinamakan H? dengan

2 H? = H11² + H22² + H12² + H21².

Pada skripsi ini dibahas beberapa sifat dari matriks H? mencakup karakterisasi matriks H? sebagai matriks definit positif maupun semidefinit positif, serta ketaksamaan yang berlaku dengan melibatkan nilai eigen simplektik dan nilai eigen biasa.

Let H be a 2n x 2n real symmetric positive definite matrix. The Hadamard product of H with itself, denoted as  H ? H , is defined as a 2n x 2n matrix whose entries are given by (H ? H)ij = (Hij)². Then, H ? H is partitioned into four blocks as follows:

H ? H =

[ H11²   H12² ]

[ H21²   H22² ],

where each block Hij²  is an n x n submatrix of H ? H . Based on this partition, we define a special matrix denoted by H? as follows: 2 H? = H11² + H22² + H12² + H21².

In this undergraduate thesis, we discuss some properties of the matrix H?, including its characterization as either a positive definite or positive semidefinite matrix, as well as inequalities related to symplectic eigenvalues and ordinary eigenvalues.

Kata Kunci : Nilai Eigen Simplektik, Matriks Definit Positif, Ketaksamaan Schur