Syarat Perlu dan Cukup suatu Pemetaan merupakan Pemetaan ?-Centralizer pada Ring Semiprima Bebas 2-Torsi

Muchammad Udin Mustofa, Iwan Ernanto, S.Si., M.Sc., Ph.D.

2025 | Skripsi | MATEMATIKA

Diberikan ring semiprima bebas 2-torsi R. Pemetaan aditif T : R ? R disebut pemetaan centralizer kiri (kanan) jika untuk setiap x, y ? R berlaku T(xy) = T(x)y (T(xy) = xT(y)). Misalkan ? adalah endomorfisma pada R. Pemetaan aditif T : R ? R disebut pemetaan ?-centralizer kiri (kanan) jika untuk semua x, y ? R berlaku T(xy) = T(x)?(y) (T(xy) = ?(x)T(y)). Pemetaan T disebut pemetaan ?-centralizer apabila memenuhi kedua sifat tersebut sekaligus. Diketahui bahwa jika T merupakan pemetaan ?-centralizer, maka untuk setiap x, y ? R berlaku T(xyx) = ?(x)T(y)?(x). Namun, kebalikannya belum tentu benar. Penelitian ini membahas kondisi yang membuat suatu pemetaan aditif T menjadi pemetaan ?-centralizer jika diketahui bahwa T(xyx) = ?(x)T(y)?(x) untuk semua x, y ? R. Selain itu, dibahas pula beberapa sifat dan bentuk umum dari pemetaan ?-centralizer pada ring semiprima bebas 2-torsi.

Let a 2-torsion free semiprime ring R. An additive mapping T : R ? R is called a left (right) centralizer if for all x, y ? R, it satisfies T(xy) = T(x)y, (T(xy) = xT(y)). Let ? be a endomorphism on R, an additive mapping T : R ? R is said to be a left (right) ?-centralizer if for all x, y ? R, it satisfies T(xy) = T(x)?(y), (T(xy) = ?(x)T(y)). A function T is called a ?-centralizer if the function T is both a left and right ?-centralizer. This will imply that if the previous hypotheses are satisfied, then the following identity holds T(xyx) = ?(x)T(y)?(x). However, the converse does not necessarily hold. In this undergraduate thesis, the conditions under which an additive mapping T becomes a ?-centralizer are discussed when T(xyx) = ?(x)T(y)?(x) holds for all x, y ? R. In addition, several properties and general forms of ?-centralizer on 2-torsion free semiprime rings are also investigated.

Kata Kunci : ring, ring semiprima, ring bebas torsi, centralizer, aditif