Generalized Reverse Derivation Pada Ring Semiprima

Muhammad Husni Alwi, Iwan Ernanto S.Si., M.Sc., Ph.D.

2025 | Skripsi | MATEMATIKA

Suatu ring R dan pemetaan d : R ke R, pemetaan d disebut derivation jika memenuhi d(x + y) = d(x) + d(y) serta d(xy) = d(x)y + xd(y) untuk setiap x, y anggota dari R. Selanjutnya, diperhatikan bahwa pada kasus R komutatif, berlaku d(xy) = d(y)x + yd(x) untuk setiap x, y anggota dari R. Pada kasus R komutatif, biasa disebut dengan reverse derivation. Diberikan ring semiprima R dan suatu reverse derivation d pada R. Pemetaan aditif F : R ke R disebut l-generalized reverse derivation dari R yang berasosiasi dengan d jika berlaku F (xy) = F (y)x + yd(x), untuk setiap x, y anggota dari R. Selanjutnya, pemetaan aditif F merupakan r-generalized reverse derivation dari R yang berasosiasi dengan d jika berlaku F (xy) = d(y)x + yF(x) untuk setiap x, y anggota dari R. Pada skripsi ini dibahas hubungan antara generalized reverse derivation dan generalized derivation pada ideal I dari ring semiprima. Hasil utama dari skripsi ini adalah syarat perlu dan cukup suatu suatu pemetaan F : I ke R merupakan generalized reverse derivation. Akibat dari hasil utama ini diperoleh bahwa R memiliki ideal pusat yang tak nol.

Let R be a ring and d : R to R a mapping. The mapping d is called a derivation if it satisfies d(x+y) = d(x)+d(y) and d(xy) = d(x)y+xd(y) for all x, y element of R. Furthermore, in the case where R is commutative, holds d(xy) = d(y)x + yd(x) for all x, y element of R. In this case,d is called a reverse derivation. Let R be a semiprime ring and d a reverse derivation on R. An additive mapping F : R to R is called a l-generalized reverse derivation of R associated with d if F(xy) = F (y)x + yd(x), for all x, y element of R. Similarly, an additive mapping F is called a r-generalized reverse derivation of R associated with d if F(xy) = d(y)x + yF(x), for all x, y element of R. This undergraduate thesis discusses the relation between generalized reverse derivations and generalized derivations on an ideal I of a semiprime ring. The main result of this undergraduate thesis provides necessary and sufficient conditions for a mapping F : I to R to be a generalized reverse derivation. As a consequence of this result, it follows that R possesses a nonzero central ideal.

Kata Kunci : Generalized Reverse, Generalized Derivation, Reverse Derivation, Ring Semiprima, Reverse Derivation Pada RIng Semiprima, Generealized Reverse Derivation Pada Ring Semiprima