Graf Bersih atas Ring Berhingga

Felicia Servina Djuang, Prof. Dr.rer.nat. Indah Emilia W., S.Si., M.Si., Prof. Dr.rer.nat. Yeni Susanti, S.Si., M.Si.

2025 | Tesis | S2 Matematika

Diberikan ring berhingga R dengan elemen identitas. Graf bersih atas ring R, dinotasikan dengan Cl(R) merupakan graf dengan himpunan titik semua pasangan (e, u), dengan e merupakan elemen idempoten dan u merupakan elemen unit dari R. Dua titik berbeda (e,u) dan (f, v) bertetangga jika dan hanya jika ef = fe = 0 atau uv = vu = 1. Graf bersih Cl_2(R) merupakan subgraf dari graf Cl(R) yang terinduksi oleh himpunan {(e, u): e  merupakan elemen idempoten taknol pada  R, u merupakan elemen unit pada R}. Pada tesis ini, akan dibahas struktur, sifat, dan indeks topologi dari graf-graf bersih atas ring \mathbb{Z}_{n}, dengan n merupakan bilangan asli dengan faktor prima sebanyak kurang dari sama dengan 3, dan atas ring M_{2 \times 2}(\mathbb{Z}_{p}) melalui graf Cl_2-nya. Selain itu, dibahas pula kondisi-kondisi agar dua graf bersih atas hasil kartesian dua ring saling isomorfis. 

Let R be a finite ring with identity. The clean graph Cl(R) is a graph whose vertices are of the form (e, u), where e is an idempotent element and u is a unit of R. Two distinct vertices (e,u) and (f, v) are adjacent if and only if ef = fe = 0 or uv = vu = 1. The graph Cl_2(R) is the subgraph of Cl(R) induced by the set {(e, u): e  is a nonzero idempotent element, u is a unit element of R}. In this study, we examine the structure and topological indices of clean graphs over the rings \mathbb{Z}_{n}, where n is a natural number with at most three prime factors and ring M_{2 \times 2}(\mathbb{Z}_{p}) derived from their Cl_2 graph. We also present the condition such that two clean graphs over the direct product of two rings are isomorphic. 

Kata Kunci : graf bersih, graf idempoten, unit, isomorfisma graf, indeks topologi graf