Representasi Suatu Bilangan sebagai Jumlahan Bilangan Kuadrat dan Bilangan Segitiga

Ismarani, Uha Isnaini, S.Si, M.Sc., Ph.D; Dr. Drs. Budi Surodjo, M.Si.

2025 | Tesis | S2 Matematika

Salah satu kajian penting dalam teori bilangan adalah representasi bilangan asli oleh bilangan figural, seperti bilangan kuadrat dan bilangan segitiga. Bilangan kuadrat merupakan bilangan yang berbentuk n^2 untuk setiap n bilangan bulat, sedangkan bilangan segitiga adalah bilangan yang berbentuk T_n = n(n+1)/2 untuk n bilangan bulat tak negatif. Banyaknya representasi n sebagai jumlahan k bilangan kuadrat dinotasikan oleh r_k(n) sedangan banyaknya representasi bilangan sebagai jumlahan k bilangan segiitiga dinotasikan t_k(n). Tesis ini membahas r_k(n) dengan k=2,4,6,8, serta t_k(n) dengan k=2,4. Selain itu, juga dijai banyaknya representasi dalam bentuk ax^2 + bxy + cy^2. Penelitian ini juga meninjau hubungan antara bilangan kuadrat dan bilangan segitiga serta fungsi pembangkit dari t_3(3n), t_3(3n+1), t_3(3n+2), dan t_3(9n). Lebih lanjut, ditemukan fungsi pembangkit dari t_3(9n+1), t_3(9n+2), t_3(9n+3), dan t_3(9n+4).

One of the important topics in number theory is the representation of natural numbers by figural numbers, such as squares and triangular numbers. A square is a number of the form n^2 for every integer n, while a triangular number is a number of the form T_n =n(n+1)/2 with n non negative integer. The number of representations of n as a sum of k squares is denoted by r_k(n, while the number of representations of n as a sum of k triangular numbers is denoted by t_k(n). In this thesis, we focus on the study of r_k(n) with k=2,4,6,8, and t_k(n) with k=2,4. The number of representations of the form $ax^2+bxy+cy^2$ is also studied. In addition, the relationship between square numbers and triangular numbers is investigated, along with the generating functions of t_3(3n), t_3(3n+1), t_3(3n+2), and t_3(9n). Moreover, the generating functions of t_3(9n+1), t_3(9n+2), t_3(9n+3), and t_3(9n+4) are obtained.

Kata Kunci : Representasi, bilangan kuadrat, bilangan segitiga, fungsi pembangkit