Identitas Rogers-Ramanujan

SALSABILLA NIRMALASARI, Uha Isnaini, S.Si., M.Sc., Ph.D.

2025 | Skripsi | MATEMATIKA

Teori bilangan merupakan cabang dari matematika yang mempelajari sifat-sifat bilangan bulat. Salah satu topik yang menarik dalam kajian bilangan bulat adalah partisi bilangan bulat. Suatu partisi dari bilangan bulat positif n adalah barisan bilangan bulat positif yang tak naik dan berhingga, sehingga jumlah elemennya adalah n. Salah satu aspek yang banyak diteliti dalam partisi bilangan bulat adalah identitas Rogers-Ramanujan. Identitas Rogers-Ramanujan mengkaji partisi yang kongruen dengan ±1 (mod 5) dan ±2 (mod 5). Dalam skripsi ini, dibahas mengenai penerapan dan keterhubungan identitas Rogers-Ramanujan terhadap partisi-partisi terkait lainnya. Pada penerapan identitas Rogers-Ramanujan, terdapat dua konsep penting, yaitu identitas Gollnitz-Gordon  dan teorema Schur, yang keduanya merupakan identitas partisi dengan bentuk tertentu. Selanjutnya keterhubungan identitas Rogers-Ramanujan juga melibatkan penjumlahan partisi bilangan asli yang berurutan, yang mencakup bilangan asli ganjil berurutan dan bilangan asli genap berurutan.

Number theory is a branch of mathematics that studies the properties of integers. One of the intriguing topics within integer studies is integer partitions. A partition of a positive integer n is a finite, non-increasing sequence of positive integers such that the sum of its elements is n. An aspect that is extensively researched in integer partitions is the Rogers-Ramanujan identities. The Rogers-Ramanujan identities examine partitions congruent to ±1 (mod 5) and ±2 (mod 5). This thesis discusses the application and interrelation of the Rogers-Ramanujan identities with other related partitions are discussed. In the application of the Rogers-Ramanujan identities, two important concepts arise: the Gollnitz-Gordon identity and Schur’s theorem, both of which represent partition identities with specific forms. Furthermore, the interrelation of the Rogers-Ramanujan identities also involves the summation of sequential integer partitions, which includes consecutive odd integers and consecutive even integers.The proof for this interrelation is constructed using a bijective function.

Kata Kunci : Partisi Bilangan Bulat, Partisi Modular, Partisi Penjumlah Berbeda, Fungsi Pembangkit, Fungsi Bijektif.