Essential and Density Topologies on Continuous Domains

Orlando Ferrari, Hadrian Andradi, M.Sc., Ph.D.

2025 | Skripsi | MATEMATIKA

Pada skripsi ini, dibahas dua topologi baru, yaitu topologi essential dan density, yang didefinisikan pada dcpo sebagaimana diperkenalkan oleh Rusu dan Ciobanu. Topologi essential didefinisikan serupa dengan topologi Alexandroff pada poset, tetapi menggunakan relasi way-below sebagai dasarnya. Hasil skripsi ini mengungkapkan bahwa topologi essential pada domain kontinu memiliki keterkaitan erat dengan topologi Scott. Di lain sisi, topologi density didefinisikan sebagai topologi terkecil yang memuat topologi essential dan topologi Scott. Hasil utama dari penelitian ini menunjukkan bahwa, pada domain kontinu, basis berkorespondensi dengan himpunan padat pada salah satu dari topologi-topologi baru ini. Selain itu, diberikan pula interpretasi topologis untuk beberapa sifat basis dan karakterisasi domain aljabar yang baru.

In this undergraduate thesis, we investigate two novel topologies: the essential and density topologies, which are defined on a directed complete partial order (dcpo) as introduced by Rusu and Ciobanu. The essential topology is defined similarly to Alexandroff topology on a poset; however, we take the way-below relation into account. Our findings reveal that the essential topology in a continuous domain is intricately connected to the Scott topology. On the other hand, the density topology is defined as the smallest refinement combining both the essential and Scott topologies. The principal result of this thesis establishes that, within a continuous domain, bases correspond to dense sets associated with one of these novel topologies. Additionally, we offer topological interpretations for various properties of bases and provide characterizations of algebraic domains.

Kata Kunci : Domain theory, topology, basis, essential, density