Operator Aditif Ortogonal dan Operator Superposisi pada ruang fungsi bernilai vektor di dalam ruang Banach Lattice

SUPAMA, Promotor Prof.Dr. Soeparna Darmawijaya

2004 | Disertasi | S3 Matematika

Dalam disertasi ini dikonstruksikan beberapa konsep baru tentang ruang fungsi berdasarkan beberapa hasil penelitian terdahulu, terutama yang ada kaitannya dengan topik disertasi. Berkaitan dengan hal itu, terlebih dahulu dibangun pengertian integral pada ruang Riesz sejalan dengan pengertian yang diberikan oleh Lebesgue. Berdasarkan penelitian pada ruang fungsi terukur bernilai real, mula-mula dibangun ruang fungsi terukur bernilai Banach lattice yang didefinisikan pada ­ ½ < dengan ­ = [a; b] atau [a;1). Selanjutnya, disajikan beberapa teorema representasi untuk operator aditif ortogonal pada ruang fungsi tersebut. Teorema tersebut terutama disajikan untuk operator aditif ortogonal dan kontinu, kontinu urutan-¾, dan kontinu modular. Untuk konstanta real a > 1 dan fungsi-N Á yang memenuhi kondisi-¢2 dibangun ruang fungsi WÁ[a;1). Teorema representasi untuk fungsional aditif ortogonal dan kontinu (atau kontinu modular) pada ruang ini dibuktikan berdasarkan hasil sebelumnya. Selanjutnya, hasil-hasil tersebut di atas diitlakkan ke ruang fungsi yang lebih umum, yaitu ruang fungsi terukur dan bernilai Banach lattice yang didefinisikan pada ruang Riesz. Sejalan dengan hasil-hasil sebelumnya, disajikan beberapa teorema representasi sebagaimana disebutkan pada alinea kedua. Ruang fungsi WÁ(E) dibangun dengan cara mengitlakkan ruang WÁ[a;1). Dalam hal ini disyaratkan E berukuran tak hingga dan ruang ukuran (E;§; ¹) bersifat lengkap dan ¾-hingga. Selanjutnya, disajikan syarat perlu dan cukup agar fungsional F aditif ortogonal dan kontinu (atau kontinu modular) pada WÁ(E). Operator superposisi pada WÁ[a;1) dibangun dengan menggunakan fungsi pembangkit g(:; :) : [a;1) £ L ! H dengan L dan H masing-masing ruang Banach lattice yang bersifat Archimedean dan lengkap urutan-¾. Untuk fungsi pembangkit ini, dapat diturunkan suatu pertidaksamaan yang merupakan syarat cukup agar operator superposisi Pg memetakan WÁ[a;1) ke L1[a;1). Sedangkan syarat perlu untuk itu, dibuktikan dengan mengambil H = < dan L1[a;1) = L1[a;1). Selanjutnya, dalam tulisan ini juga disajikan syarat perlu dan cukup agar operator Pg kontinu, terbatas lokal, atau terbatas pada WÁ[a;1).

In this dissertation, some new concept about function spaces are constructed based on some previous results, especially those which are related to the topic of the dissertation. According to the case, the notion of integral on Riesz spaces is defined analogous to those of Lebesgue. Spaces of measurable Banach lattice-valued functions defined on ­ ½ <, where ­ = [a; b] or [a;1), are constructed based on some researches on spaces of measurable real-valued functions. Further, some representation theorems for orthogonally additive operators on those spaces are presented. Especially, the representation theorems for orthogonally additive and continuous, ¾-order continuous, or modular continuous operators. For any (fixed) real number a > 1 and the N-function Á which satisfies the ¢2- condition, we construct the function space WÁ[a;1). Representations theorems for orthogonally additive and continuous (or modular continuous) functionals on the space are proved based on the previous results. Next, the above results are generalized into more general function spaces, namely the spaces of measurable Banach lattice-valued functions which are defined on Riesz spaces. Some representation theorems as those described in the second paragraph are presented . The function space WÁ(E) was constructed as a generalization of WÁ[a;1). In this case, a measure of E is infinite and the measure space (E;§; ¹) is a ¾-finite and complete. Further, the suffucient and necessary conditions for which the functional F is orthogonally additive and continuous (atau modular continuous) on WÁ(E) are presented analogous to those on the space WÁ[a;1). The superposition operator on WÁ[a;1) is defined by any generating function g(:; :) : [a;1) £ L ! H, where L and H are an Archimedean ¾-order complete Banach lattice, respectively. For the generating function, an inequality which guarantee a sufficient condition for which the superposition operator Pg maps WÁ[a;1) into L1[a;1) is proved. Meanwhile, its necessary condition can be proved by letting H = < and L1[a;1) = L1[a;1). Furthermore, the sufficient and necessary conditions for the continuity, locally boundedness, or boundedness of the superposition Pg on WÁ[a;1) are also given in this dissertation.

Kata Kunci : Ruang Fungsi,Matematika,Operator Aditif Ortogonal