Ring Armendariz, Ring Tereduksi dan Ring Abelian

HARTINI, Euis, Prof.Dr. Sri Wahyuni, MS

2004 | Tesis | S2 Matematika

Dalam pembahasan, suatu ring yang dimaksud adalah suatu ring dengan identitas. Selanjutnya suatu ring polynomial atas dinotasikan dengan . R R R[x] Definisi suatu ring Armendariz menurut Rege dan Chhawchharia [1997]: suatu ring dikatakan Armendariz jika sembarang polynomial R ( ) + a 2 , 0 1 2 n n f x = a + a x x +L+ a x ( ) 2 [ ] 0 1 2 g x b b x b x b xm R x m = + + +L+ ∈ dengan f (x)g(x) = 0 maka a b 0 i, j, 0 i n, 0 j m. i j = ∀ ≤ ≤ ≤ ≤ (Sebaliknya jelas selalu benar). Suatu ring dikatakan tereduksi jika ring tersebut tidak mempunyai elemen nilpoten taknol (dengan kata lain elemen nilpotennya hanya elemen nol). Selanjutnya ring abelian berhubungan dengan elemen central. Sifat yang terkait dengan ring Armendariz yaitu suatu ring tereduksi merupakan ring Armendariz , dan suatu ring Armendariz merupakan ring abelian. Jadi dapat ditunjukkan hubungan antara ring Armendariz, ring tereduksi, dan ring abelian. Dengan demikian , untuk menunjukkan hubungan tersebut dilakukan pembuktian atau dengan menggunakan contoh dan counterexample

In discussion , all rings are associative with identity. Given a ring , the polynomial ring over is denoted by . R R R[x] Definition of Armendariz rings , was initiated by Rege and Chhawchharia [1997] i.e., a ring is called Armendariz if whenever polynomials satisfy , then R L+ a n n f x = a + a x + a x2 + a x 0 1 2 ( ) , f (x) g(x) = 0 bi j = m m g x = b + b x + b x2 +L+ b x 0 1 2 ) i, j, 0 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ m. ( ∈ R[x] 0 ∀ (The converse is obviously tru). A ring is called reduced if it has no nonzero nilpotent elements. A abelian rings which is related to central elements. Characteristics of Armendariz are reduced rings are Armendariz, and Armendariz rings are abelian. So now on emphasize the conections among Armendariz rings, reduced rings, and abelian rings. For answers to questions that used prove or several examples and counterexamples.

Kata Kunci : Ring Armendariz,Ring Tereduksi,Ring Abelian, Armendariz Rings , Reduced Rings, Abelian Rings