Aplikasi metode-metode iteratif untuk meminimumkan fungsi kuadrat n variabel

SETIAWAN, Toto' Bara, Dr. Lina Aryati, MS

2004 | Tesis | S2 Matematika

Pendekatan standar untuk menyelesaikan persoalan optimisasi ini berasumsi dari titik awal 0 x , kemudian diperoleh titik yang lebih baik dengan menggunakan metode iteratif berbentuk k k k x = x +αd +1 , untuk k = 0,1,2,Λ , dengan k d vektor arah pencarian, α skalar yang menunnjukkan besarnya langkah dalam arah ini. Pemilihan arah pencarian yang paling sederhana adalah mengambil vektor negatif gradien pada titik k x , sebagai k d . Titik minimum x * dari fungsi f , dicapai saat gradien dari f di x* sama dengan nol. Dalam tesis ini, akan dicari titik minimum x * dari fungsi kuadrat n-variabel f :ℝn→ ℝ yang didefinisikan sebagai x = xΤQx − xΤb 2 f ( ) 1 , dengan Q matriks simetri definit positif berordo n × n dan b skalar. Metode-metode iteratif, yaitu: Metode Gradien, Metode Steepest Descent, Metode Newton, Metode Conjugate Direction, dan Metode Conjugate Gradient, yang diaplikasikan pada fungsi kuadrat n variabel tersebut, menjamin adanya titik minimum x* dari fungsi kuadrat tersebut.

The standard approach for solving this optimization problem is to assume an initial approximation 0 x and then to proceed to an improved approximation by using an iterative methods of the form k k k x = x +αd +1 for k = 0,1,2,Λ where vektor k d is a direction of search and the scalar α determines how far step in this direction. A simple choice for a direction of search is to take k d as the negative gradient vektor at the point k x . The x* minimizes function f is reached when the gradient of f (x*) is zero. In this thesis we will seek the minimum value x* of the n-variable quadratic function f :ℝn→ ℝ given by x = xΤQx − xΤb 2 f ( ) 1 , where Q is an n × n positive definite symetric matrix and b is a scalar. The iterative methods, that are Gradient Method, Steepest Descent Method, Newton’s Method, Conjugate Direction Method, and Conjugate Gradient Method, guarantee the excistence of the minimum value x* of the n-variable quadratic function.

Kata Kunci : Metode Iteratif,Fungsi Kuadrat n Variabel, n-variabble quadratic function, iterative methods