Kongruensi Ramanujan Modulo 5 dan 7

Eterna Maka Suci, Uha Isnaini, S.Si., M.Sc., Ph.D.

2023 | Skripsi | MATEMATIKA

Partisi bilangan bulat $n$ didefinisikan sebagai barisan tak naik atas bilangan bulat positif sehingga jumlahnya adalah $n$. Selanjutnya banyaknya partisi dari bilangan bulat $n$ dinotasikan dengan $p(n)$. Ramanujan menemukan tiga kongruensi yang dipenuhi oleh $p(n)$ untuk nilai tertentu, yaitu $p(5n+4)$ habis dibagi $5$, $p(7n+5)$ habis dibagi $7$, dan $p(11n+6)$ habis dibagi $11$. Dalam skripsi ini, dibahas mengenai kongruensi Ramanujan modulo $5$ dan $7$ dengan beberapa bukti kekongruenan partisi dengan menggunakan teorema bilangan segilima Euler serta identitas Jacobi.

A partition of a non-negative integer $n$ is a non-increasing sequence of positive integers where the sum is equal to $n$. The number of partitions of the integer $n$ is denoted by $p(n)$. Ramanujan has found three congruences that are satisfied by $p(n)$ for a given value, such as $p(5n+4)$ is divisible by $5$, $p(7n+5)$ is divisible by $7$, and $p(11n +6)$ is divisible by $11$. In this final project, we discuss the congruences of Ramanujan modulo $5$ and $7$ with some proofs of partition congruences using Euler's pentagonal number theorem and Jacobi identity.

Kata Kunci : Partisi, Kongruensi Ramanujan, Teorema Bilangan Segilima Euler, Identitas Jacobi, Partition, Ramanujan Congruences, Euler's Pentagonal Number Theorem, Jacobi Identity