A Voltage and Frequency Control of Three-Phase Synchronous Generator Using Feedback Linearization

Sudiro, Dr.Eng. Ir. Adha Imam Cahyadi, S.T., M.Eng., IPM.; Prof. Dr.Eng. Ir. F. Danang Wijaya, S.T., M.T.,IPM.

2023 | Tesis | S2 Teknik Elektro

Dokumen tesis ini membahas proses perancangan pengendali mesin tunggal generator sinkron (GS). Metode kendali yang digunakan adalah feedback-linearization (FL) yang disimulasikan pada tiga konfigurasi yaitu saat beban pada GS berupa: i) resistansi dan induktansi konstan (RL-const), ii) single-machine infinite-bus (SMIB), iii) resistansi dan induktansi yang diubah (RL-vary). Namun, sebelum merancang pengendali, pertama, proses pemodelan pada dinamika elektris dan mekanis dilakukan. Model yang didesin ada dua, yaitu model orde empat (m.o.4) dan model orde enam (m.o.6). State pada m.o.4 meliputi komponen direct $I_d$ dan quadrature $I_q$ dari arus belitan stator, arus belitan medan $I_F$, dan frekuensi listrik $\omega_e$. Kedua model tersebut memiliki dua input yang berasal dari tegangan belitan medan $v_F$ dan torsi mekanik $\tau_m$, serta memiliki dua output yaitu tegangan tiga fase setelah  ditransformasi dq, dinotasikan $V_t$, serta frekuensi elektrik $\omega_e$.

Proses kedua adalah mengevaluasi kestabilan equilibrium point pada m.o.4 sebagai respon terhadap keadaan awal tanpa input, dengan menentukan fungsi Lyapunov yang sesuai, sehingga diperoleh globally exponentially stable (g.e.s). Proses ketiga menggunakan informasi g.e.s dari m.o.4 untuk menentukan input-to-state stability (i.s.s) dari m.o.4 sebagai respon terhadap pemberian input, yang menghasilkan boundedness dari seluruh state pada setiap pemberian input yang bounded. Proses keempat menggunakan kondisi boundedness dari state tersebut untuk menentukan input-to-output stability (i.o.s), yang menghasilkan: i) jika $\omega_e$ dijaga konstan, maka sistem akan bersifat finite-gain $\mathcal{L}_p$ stable untuk seluruh nilai $p \in [0, \infty]$, ii) jika tidak dijaga kosnatn, maka sistem nya mengalami kestabilan $\mathcal{L}_\infty$, yaitu output sistem akan selalu bounded pada setiap pemberian input yang bounded (BIBO). Proses kelima adalah perancangan kendali feedback linearization untuk mengendalikan $V_t$ dan $\omega_e$. Pada bagian ini, ada dua tipe kendali yang akan di evaluasi. Pengendali tipe I mengendalikan secara langsung $V_t$ yang menghasilkan kediskontinyuan yang tinggi yang mengakibatkan terjadinya (peaking phenomenon). Sedangkan pengendali tipe 2 mengendalikan $V_t$ dengan mengendalikan $v_q$, komponen quadrature nya saja, pengendali tersebut bersifat  kontinyu dan menyelesaikan permasalahan peaking phenomenon ini.

Kestabilan pengendali feedback-linearization ini dievaluasi dengan mengevaluasi kestabilan dari internal dynamics dari m.o.6. Internal dynmics yang dihasilkan dalam bentuk sistem Linear Time Varying (LTV). jika pengendali $v_F$ diaktifkan setelah $\omega_e$ sudah tunak. Namun secara praktiknya, dengan simulasi komputer, yang membutuhkan proses diskretisasi, region of attraction terbatasi oleh nilai waktu cuplik. Dengan waktu cuplik $T_s = 10^{-4}$ detik, generator sinkron dibatasi untuk berkeja hanya pada frekuensi $\omega_e = 60\pi$ rad/detik, sedangkan untuk frekuensi yang lebih tinggi, mengakibatkan sistem tidak stabil, karena ada pole dari discrete internal dynamics yang keluar dari unit circle. Kondisi ini dapat diselesaikan dengan menggunakan waktu cuplik yang lebih rendah $T_s = 10^{-5}$ detik, sehingga internal dynamics stabil hingga $200\pi$ rad/s. Ini cukup karena frekuensi yang sering digunakan di dunia adalah $100\pi$ dan $120\pi$ rad/detik. 

Namun kestabilan internal dynamics ketika $v_F$ dan $\tau_m$ diaktifkan secara bersamaan belum dapat digaransi secara teoritis karena kesulitan menyelesaikan persamaan Lyapunov untuk sistem LTV. Sehingga, untuk menunjukkan kestabilan secara praktikal, simulasi pada kondisi tersebut juga dilakukan, dan menghasilkan kestabilan walaupun tanpa garansi teoritis. 

This thesis presents the controller design process on single machine three phase synchronous generator (SG). The controller is designed based on Feedback Linearization simulated in three configurations, when the SG is loaded by: i) constant resistance and inductance (RL-const), ii) single-machine infinite-bus (SMIB), iii) variable resistance and inductance (RL-vary). However, before designing the controller, firstly, the modeling process of both electrical and mechanical dynamics is conducted. There are fourth (f.o.m) and sixth-order model (s.o.m). The states of f.o.m are direct $I_d$ and quadrature $I_q$ axis stator winding current, field winding $I_F$ current, electrical angular frequency $\omega_e$, and angular position $\theta_e$. So has s.o.m with adding direct $I_D$ and quadrature $I_Q$ axis damper winding current. Both has two inputs from field winding voltage $v_F$ and mechanical torque $\tau_m$, and two outputs which are magnitude of dq-transformed three-phase voltage of stator winding $V_t$, and $\omega_e$.

The second process is to evaluate the global-exponential-stability (g.e.s) of the equilibrium point f.o.m in response to initial condition, without input ,by determining appropriate Lyapunov function. The third process uses the g.e.s of f.o.m to evaluate the input-to-state stability of f.o.m in response to given input, which results in boundedness of all states for any given bounded input. The fourth process uses the boundedness of states to evaluate the input-output stability, which results in: i) if $\omega_e$ is maintained to be constant, the system is finite-gain Lp stable for $p \in [0, \infty]$, ii) otherwise, the system is $\mathcal{L}_\infty$ stable, which means that the system is bounded input bounded output (BIBO). The fourth process is feedback linearizing controller design of $V_t$ and $\omega_e$. In this section, there are two type of controller to be evaluate. The type 1 controller directly controls $V_t$ which results in high discontinuities which implies the peaking phenomenon. The type #2 controller, it is enough to only control its quadrature-axis part of $V_t$ which results in continuous controller and solve the problem of peaking phenomenon. 

The stability of output-feedback linearizing controller is evaluated by evaluating the stability of internal dynamics of s.o.m. The resulted internal dynamics is in form Linear Time Varying system, if $v_F$ controller is activated after $\omega_e$ has reached steady state condition. However, practically by simulation, which is need discretization, the region of attraction is limited by high time sampling. By using time sampling $T_s = 10^{-4}$ s, the maximum operation of the SG is on $\omega_e = 60\pi$ rad/s, for greater frequency, the system goes to be unstable because there are pole of discrete internal dynamics out from unit circle. This condition can be solved by setting $T_s = 10^{-5}$ s, which gives stability of internal dynamics until $200\pi$ rad/s. It is enough, because mostly-used electrical frequency in the world are $100\pi$ and $120\pi$ rad/s. However, the stability of internal dynamics when $v_F$ and $\tau_m$ controller are activated simultaneously, can not yet guaranteed theoretically, because difficulty of solving time-varying Lyapunov equation. Moreover, to show practical stability of this condition, the simulation is also conducted. The simulation results in the stability, although without theoretical guarantee.

Kata Kunci : synchronous generator, output-feedback-linearization, global exponential stability, input-to-state stability, $\mathcal{L} stability, internal dynamics.