Dari Modul Duo Kuat Ke Ring Duo Kuat

RAMBU MAYA IMUNG MAHARANI, Prof. Dr. Sri Wahyuni, S.U.

2023 | Tesis | S2 Matematika

Untuk sebarang modul $M$ atas ring $R$ dan $N$ submodul dari $M$, mempunyai beberapa kemungkinan, paling tidak dapat didefinisikan homomorfisma nol dan homomorfisma insersi. Mengingat selalu dapat didefinisikan homomorfisma dari $N$ ke $M$, maka dapat didefinisikan trace dari $N$ ke $M$ sebagai  $Tr(N,M)= \sum_{j \in J}\left\{ Im(f_j) \mid f_j \in Hom_R(N,M) \right\}$. Modul $M$ atas ring $R$ disebut modul duo kuat jika untuk setiap submodul $N$ dalam $M$ berlaku $Tr(N,M )=N$. Karena sebarang ring $R$ dapat dipandang sebagai modul atas dirinya sendiri, maka suatu ideal $I$ di $R$ dapat dipandang juga sebagai submodul dari modul $R$ atas $R$. Dengan demikian dapat dibentuk definisi ring duo kuat  sebagai perumuman dari modul duo kuat. Ring $R$ disebut ring duo kuat  jika untuk setiap ideal $I$ di $R$ berlaku $Tr(I,R)=I$. Selanjutnya akan diselidiki sifat-sifat modul duo kuat, sifat-sifat ring duo kuat dan kaitan antara modul duo kuat dan ring duo kuat.

For any module $M$ over ring $R$ and $N$ a submodule of $M$, it is possible to define at least a zero homomorphism and an insertion homomorphism. Since it is always possible to define homomorphisms from $N$ to $M$, we can define the trace from $N$ to $M$ as $Tr(N,M)= \sum_{j \in J}\left\{ Im(f_j) \mid f_j \in Hom_R(N,M) \right\}$. A module $M$ over ring $R$ is called a strongly duo module provided $Tr(N, M)=N$, for every submodule $N$ in $M$. Since any ring $R$ can be considered as  a module over itself, then an ideal $I$ of $R$ can also be viewed as a submodule of the module $R$ over $R$. Thus, the definition of a strongly duo ring can be established as a generalization of a strongly duo module. A ring $R$ is called a strongly duo ring provided $Tr(I, R)=I$, for every ideal $I$ in $R$. In this paper, we will discuss about the properties of strongly duo modules, the properties of strongly duo rings, and the relation between strongly duo modules and strongly duo rings.

Kata Kunci : trace,ring reguler kuat, ring duo, submodul ortogonal, modul pq-injektif, modul duo.