Ring Armendariz dan Ring Gaussian

ISMARWATI, Atun, Dr. Sri Wahyuni, MS

2003 | Tesis | S2 Matematika

Misalkan R ring (komutatif) dengan elemen satuan, ring R dikatakan mempunyai sifat Armendariz jika untuk dua polinomial f(x), g(x) ÃŽ R[x] memenuhi f(x)g(x) = 0 maka aibj = 0 untuk setiap koefisien ai ÃŽ f(x) dan bj ÃŽ g(x). Misalkan f(x) ÃŽ R[x], content f(x) dinotasikan dengan Af adalah ideal dari R yang dibangun oleh koefisien dari f(x). Ring R dikatakan Gaussian jika untuk setiap f(x), g(x) ÃŽ R[x] maka Afg = Af Ag. Selanjutnya R Armendariz jika f(x), g(x) ÃŽ R[x] dengan Afg = {0} berakibat Af Ag = {0}. Diberikan beberapa contoh dari ring Armendariz. Ditunjukkan bahwa jika R Armendariz maka R[x] Armendariz dan untuk R Von Neumann Regular, R Armendariz jika dan hanya jika R tereduksi. Kemudian akan ditunjukkan bahwa R Gaussian jika dan hanya jika setiap image homomorphic dari R adalah Armendariz.

Let R be a ring with an identity. We say that R is Armendariz if for two polynomials f(x), g(x) ÃŽ R[x] satisfy f(x)g(x) = 0, then aibj = 0 for each coefficients ai of f(x) and bj of g(x). For f(x) ÃŽ R[x], content f(x) denoted Af is ideal of R generated by the coefficients of f(x). We say that a ring R is Gaussian if Afg = Af Ag for each f(x), g(x) ÃŽ R[x]. Thus a ring R is Armendariz if for f(x), g(x) ÃŽ R[x] with Afg = {0}, then Af Ag = {0}. A number of example of Armendariz rings are given. We show that R Armendariz implies that R[x] is Armendariz and that for R Von Neumann Regular, R is Armendariz if only if R is reduced. It is also shown R is Gaussian if only if each homomorphic image of R is Armendariz.

Kata Kunci : Matematika,Ring Armendariz dan Gaussian, Armendariz ring, Gaussian ring, Reduced ring