Ideal Null dan Sifat Turunan Pertama pada Ring Polinomial Atas Ring Lokal

Akbar Adi Nugroho, Iwan Ernanto, S.Si., M.Sc.

2023 | Skripsi | MATEMATIKA

Diberikan ring komutatif $R$ dengan elemen satuan. Ideal $N_R\subseteq R[x]$ disebut ideal null jika $N_R$ memuat semua polinomial $f\in R[x]$ dengan sifat $f(r)=0_R$ untuk setiap $r\in R$. Ideal $I$ di $R[x]$ dikatakan memenuhi sifat turunan pertama jika untuk setiap polinomial $f,g\in I$ berlaku $f'g'\in I$, dengan $f'$ menotasikan turunan dari $f$. Selanjutnya, pada ring $R[x]$ didefinisikan $R[\alpha]\cong\faktor{R[x]}{\langle x^2\rangle}$ yang disebut ring dual atas $R$. Pada skripsi ini digunakan ring lokal berhingga $R$ dengan ideal maksimal $\m$ untuk mengkaji seputar sifat ideal null $N_R$ dan hubungannya dengan ideal null yang diperlemah $N(\m)$, sifat turunan pertama pada ideal null di $R[x]$ dan $R[\alpha]$, dan pengaplikasian sifat turunan pertama pada grup penstabil $St_\alpha(R)$ atas $R[\alpha]$. Hasil yang diperoleh pada skripsi ini antara lain ideal null $N_R$ dapat dibangun oleh $N(\m)$, ideal null $N_R$ dan $N(\m)$ atas ring lokal berhingga dapat memenuhi sifat turunan pertama, setiap ideal null di $R[\alpha]$ memenuhi sifat turunan pertama, dan $N_R$ yang memenuhi sifat turunan pertama menyebabkan grup $St_\alpha(R)$ atas grup polinomial permutasi $\mathcal{P}(R[\alpha])$ isomorfis dengan suatu grup faktor dari $N_R$. Lebih lanjut, isomorfisma tersebut dapat digunakan untuk mencari banyaknya anggota permutasi polinomial $\mathcal{P}(R[\alpha])$ atas suatu ring lokal berhingga $R$.

Let $R$ be a commutative ring with unity. Ideal $N_R$ of polynomial ring $R[x]$ is called null ideal if $f\in N_R$ and $r\in R$ implies $f(r)=0_R$. Ideal $I$ of $R[x]$ statisfies the first derivative property if $f,g\in I$ implies $f'g'\in I$, where $f'$ denote the derivative of $f$. Furthermore, in $R[x]$ defined $R[\alpha]\cong\faktor{R[x]}{\langle x^2\rangle}$ which is called ring dual over $R$. In this undergraduate thesis, we use finite local ring $R$ with a maximal ideal $\m$ to study about the null ideal $N_R$ properties and its relation to the weakened null ideal $N(\m)$, the first derivative property on the null ideal in $R [x]$ and $R[\alpha]$, and the application of the first derivative property to the stabilizer group $St_\alpha(R)$ over $R[\alpha]$. The results obtained in this undergraduate thesis including null ideal $N_R$ can be generated by $N(\m)$, null ideal $N_R$ and $N(\m)$ on a finite local ring can satisfy the first derivative property, every null ideal in $R[\alpha]$ satisfies the first derivative property, and $N_R$ which statisfies the first derivative property causes group $St_\alpha(R)$ in the group of polynomial permutations $\mathcal{P}(R[\alpha])$ is isomorphic to a certain quotient group of $N_R$. Furthermore, this isomorphism can be used to find the number of elements in $\mathcal{P}(R[\alpha])$ over a finite local ring $R$.

Kata Kunci : Ring Lokal, Ideal Null, Ring Polinomial, Sifat Turnan Pertama, Ring Dual