Ketaktereduksian, Keradikalan, serta Kedekomposisi-Primeran dalam Ring Noetherian

Mafela Astarani, Prof. Dr. Dra. Sri Wahyuni, S.U.

2023 | Skripsi | MATEMATIKA

<!--StartFragment--> <!--EndFragment-->

Diketahui R adalah ring komutatif dengan elemen satuan. Ideal I disebut ideal prima di R jika untuk setiap a, b ? R dengan ab ? I maka a ? I atau b ? I. Ada beberapa perumuman dari ideal prima yaitu ideal radikal, ideal prima, dan ideal tak tereduksi. Semua ideal prima merupakan ideal tak tereduksi, ideal radikal, dan ideal primer. Dari ideal radikal dapat diperoleh definisi elemen nilpoten dan nilradikal. Dalam ring Noetherian, semua ideal tak tereduksi adalah ideal primer dan suatu nilradikal adalah nilpoten. Selanjutnya, jika I merupakan irisan dari seluruh ideal primer pada R, maka I disebut dekomposisi primer. Lebih lanjut, ideal I disebut dapat didekomposisi jika I merupakan dekomposisi primer. Dalam ring Noetherian, setiap ideal I dapat didekomposisi-primerkan.

Let R be a commutative ring with identity. If for every a, b ? R there is ab ? I, then either a ? I or b ? I, then an ideal I is said to be a prime ideal in R. Prime ideals can be broken down into three categories: radical ideals, prime ideals, and irreducible ideals. All primary, radical, and irreducible values are prime ideals. The definition of nilpotent and nilradical elements can be drawn from radical ideals. In a Noetherian ring, a nilradical is nilpotent, and all irreducible ideals are basic ideals. Additionally, I is referred to as a primary decomposition if I is the intersection of all primary ideals in R. In addition, if an ideal I is a primary decomposition, then I is said to be decomposable. In a Noetherian ring, every ideal I is primary decomposable.

Kata Kunci : Ring, ideal, radikal, tak tereduksi, primer, dekomposisi primer, Noetherian