KARAKTERISASI POSET TERKAIT KELAS KONVERGENSI LIMINF YANG TOPOLOGIS

FRANCESCO ERLAMBANG ZENDATO, Hadrian Andradi, M.Sc., Ph.D.

2023 | Skripsi | S1 MATEMATIKA

Sebarang koleksi L(L) disebut kelas konvergensi pada himpunan L jika L(L) memuat pasangan-pasangan ((x_i)_i∈I , x), dengan (x_i)_i∈I merupakan net pada L dan x elemen di L. Kelas konvergensi L(L) pada L dikatakan topologis jika terdapat topologi tau pada L sehingga L(L) = {((x_i)_i∈I , x) | lim_tau (x_i)=x}. Kelas konvergensi L(L) pada poset L disebut kelas konvergensi liminf, dinotasikan dengan LI, jika untuk setiap pasangan ((x_i)_i∈I , x) ∈ L(L) dan untuk setiap net bagian (y_j)_j∈J ⊆ (x_i)_i∈I , berlaku x merupakan liminf dari net (y_j)_j∈J . Pada skripsi ini, akan diselidiki karakterisasi poset terkait kelas konvergensi liminf yang topologis. Pertama-tama, ditunjukkan bahwa jika kelas LI pada suatu poset topologis maka posetnya eksak, dan kelas LI pada suatu poset topologis jika posetnya kontinu. Kemudian, dengan menggunakan relasi way below* pada poset, didefinisikan poset khusus yang dinamakan poset kontinu lemah*. Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa kelas LI pada suatu poset L topologis jika dan hanya jika poset L kontinu lemah*. Terakhir, diperoleh bahwa suatu poset L kontinu lemah* jika dan hanya jika poset L eksak dan untuk setiap x ∈ L berlaku himpunan ↠w x terbuka liminf.

A collection L(L) is a convergence class of set L if L(L) contains pairs ((x_i)_i∈I , x) of nets on L and elements in L. Convergence class L(L) of L is topological if there exists a topology tau on L such that L(L) = {((x_i)_i∈I , x) | lim_tau (x_i) = x}. Convergence class L(L) of poset L is a liminf convergence class, written as LI, if for all ((x_i)_i∈I , x) ∈ L(L) and for all subnet (y_j)_j∈J ⊆ (x_i)_i∈I , x is the liminf of net (y_j)_j∈J . In this bachelor thesis, we discuss the characterization of posets related to topological liminf convergence class. First, we point out that if a poset is continuous then the LI class is topological, and LI class being topological means the poset is exact. After that, using way below* relation, we define a new poset called weak* continuous poset. Next, we show that the LI class of poset L is topological if and only if L weak* continuous. Lastly, we know that a poset L is weak* continuous if and only if L exact and the set ↠w x is liminf open, for all x ∈ L.

Kata Kunci : kelas konvergensi liminf, eksak, kontinu lemah*