GRAF NILPOTEN RING MATRIKS

REGITA AGUSTIN W F, Prof. Dr. Indah Emilia Wijayanti, M.Si.

2022 | Tesis | MAGISTER MATEMATIKA

Misalkan $R$ suatu ring dengan elemen satuan. $N(R)$ merupakan himpunan nilpoten di $R$. $(R)$ merupakan himpunan semua $x$ di $R$ dengan $xy$ nilpoten pada $R$, untuk $y$ di $R^*$. Graf nilpoten, ${\Gamma _N}(R)$, merupakan graf dengan himpunan titiknya adalah $$, dan dua titik yang berbeda $x,y$ bertetangga jika dan hanya jika $xy$ nilpoten di $R$. Diameter graf $G$ adalah jarak terbesar dari sebarang dua titik $u,v$ di $V(G)$. Girth graf $G$ adalah panjang sikel terpendek di graf $G$. Diameter graf ${{\Gamma _N}\left( {{M_n}\left( F \right)} \right)}$ adalah $2$, untuk $n \geq 3$ dan diameter graf $ {{\Gamma _N}\left( \left( F \right)} \right)}$ adalah $3$. \textit{Girth} graf ${{\Gamma _N}\left( {{M_n}\left( F \right)} \right)}$ adalah $3$ untuk $n \geq 2$.

Let $R$ be a ring with unity. $N(R)$ is the set of all nilpotent element of $R$. $(R)$ is the set of all $x$ in $R$ with $xy$ is a nilpotent of $R$, for $y$ in $R^*$. The nilpotent graph, ${\Gamma _N}(R)$, is a graph with vertex set $ $, two distinct vertices $x$ and $y$ are adjacent if only if $xy$ is a nilpotent of $R$. Diameter of $G$ is the maximum distance for any two vertices $u,v$ in $V(G)$. Girth of $G$ is the length of the shortest cycle contained in $G$. Diameter of ${{\Gamma _N}\left( {{M_n}\left( F \right)} \right)}$ is $2$, for $n \geq 3$ and diameter of ${{\Gamma _N}\left( \left( F \right)} \right)}$ is $3$. Moreover girth of ${{\Gamma _N}\left( {{M_n}\left( F \right)} \right)}$ is $3$ for $n \geq 2$.

Kata Kunci : graf nilpoten, matriks, diameter, girth