REPRESENTASI RING PADA MODUL ATAS RING DENGAN ELEMEN SATUAN

NAIMAH HIJRIATI, Prof. Dr. Sri Whayuni, S.U.

2020 | Disertasi | DOKTOR MATEMATIKA

Representasi ring terhadap ruang vektor berdimensi hingga telah diperumum menjadi representasi ring terhadap modul atas ring komutatif. Diberikan ring komutatif S dengan elemen satuan dan S-modul M. Representasi ring R terhadap S-module M adalah homomorfisma ring dari ring R ke ring semua endomorfisma pada M. Selanjutnya S-modul M yang berasosiasi dengan representasi ring R disebut modul representasi ring R. Untuk suatu homomorfisma ring f dari ring R ke ring S, didefinisikan representasi ring R terhadap S-modul M melaui homomorfisma ring f; yang disebut f-representasi ring R. Pendefinisian f-representasi ini merupakan kejadian khusus dari representasi ring R terhadap suatu S-modul. Suatu S-modul M yang berasosiasi dengan f-representasi ring R disebut modul f-representasi. Dalam penelitian ini diperoleh perumuman Lemma Schur. Setiap modul representasi ring merupakan bimodul begitu juga sebaliknya. Akan tetapi, suatu bimodul belum tentu merupakan modul representasi pada kasus f-representasi. Lebih lanjut, untuk dua homomorfisma ring f dan g dari R ke S diperoleh syarat cukup f-representasi dan g-representasi ekuivalen. Diperoleh juga syarat cukup homomorfisma modul merupakan morfisma dari f-representasi ke g-representasi. Penelitian ini juga memberikan syarat cukup f-representasi ring R terhadap modul bebas berdimensi hingga atas daerah ideal utama S terdekomposisi dan tereduksi lengkap. Pada kasus S tidak komutatif, diperoleh syarat cukup suatu S-modulM merupakan modul f-representasi ring R. Kategori modul f-representasi ring R merupakan kategori Abel dan ekuivalen dengan kategori modul atas R-aljabar. Dekomposisi modul atas aljabar Artin menjadi jumlah langsung berhingga submodul-submodul tak terdekomposisi adalah tunggal. Akibatnya jika kategori modul f-representasi ekuivalen dengan kategori modul atas R-aljabar yang memenuhi Teorema Krull-Schmidt, maka dekomposisi modul f-representasi ring menjadi jumlah langsung berhingga submodul tak tereduksi adalah tunggal.

The representation of rings on finite dimension vector spaces has been generalized to the representation of rings on modules over a commutative ring. Let S be a commutative ring with unity and M be an S-module. A representation of a ring R with a unity on an S-module M is a ring homomorphism from R to the ring of endomorphisms of M. An S-module associated with a representation of R is called a representation module of R. For any ring homomorphism f from a ring R to a ring S, we define a representation of ring R with unity on M via f, and it is called an f-representation of ring R which is a special case of the representation of ring R on an S-module. This S-module associated with the f-representation of ring R is called an f-representation module of R. The result of our study is generalized Schur's Lemma. If an S-module is a representation module of ring R then it is is an R-S-bimodule, and every R-S-bimodule is a representation module of R. However, a bimodule is not necessarily an f-representation module of the ring. Furthermore, for two ring homomorphisms f and g from R to S, we obtained a sufficient condition of the equivalent of an f-representation and a g-representation. We also find some a sufficient condition of a module homomorphism becomes a morphism from an f-representation to a g-representation. This study also reveals that the sufficient condition of f-representation of the ring R on a finite dimension free module over a principal ideal domain S is decomposable and completely reducible. In case S is not commutative, we give the sufficient condition of the S-module M becomes the representation module of R. The category of f-representation modules of ring R is Abelian and Morita equivalent to the category of modules over an R-algebra. The decomposition of the module over the Artinian R-algebra into a finite direct sum of indecomposable submodules is unique. Thus, if the category of modules over the R-algebra which is equivalent to the category of f-representation modules of R satisfies the Krull-Schmidt Theorem, then the decomposition of the f-representation module into a finite direct sum of irreducible submodules is unique.

Kata Kunci : representasi ring, representasi grup berhingga, kategori modul representasi, Lemma Schur