Modul Deret Pangkat Tergeneralisasi T[[S]]-Noether

AHMAD FAISOL, Prof. Dr. Sri Wahyuni, S.U.; Dr. Budi Surodjo, M.Si.

2019 | Disertasi | DOKTOR MATEMATIKA

Dalam disertasi ini dikaji syarat cukup Modul Deret Pangkat Tergeneralisasi (MDPT) M[[S]] atas Ring Deret Pangkat Tergeneralisasi (RDPT) R[[S]] merupakan modul T[[S]]-Noether, dengan T himpunan multiplikatif di ring R, M modul atas R dan S monoid terurut tegas. Hal ini dilakukan dengan terlebih dahulu menentukan syarat cukup modul Polinomial M[X] atas R[X], modul Polinomial Laurent M[X,X^] atas R[X,X^], modul deret pangkat M[[X]] atas R[[X]] dan modul deret Laurent M[[X,X^]] atas R[[X,X^]] merupakan modul T-Noether. Hal ini termotivasi dengan melihat fakta bahwa, modul-modul tersebut merupakan bentuk khusus dari MDPT M[[S]]. Pada tahap berikutnya, ditentukan syarat cukup modul M[X] merupakan modul T[X]-Noether, modul M[X,X^] merupakan modul T[X,X^]-Noether, modul M[[X]] merupakan modul T[[X]]-Noether dan modul M[[X,X^]] merupakan modul T[[X,X^]]-Noether, dengan T[X], T[X,X^], T[[X]] dan T[[X,X^]] secara berturut-turut adalah himpunan multiplikatif di ring R[X], R[X,X^], R[[X]] dan R[[X,X^]]. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa T[[S]] merupakan himpunan multiplikatif di RDPT R[[S]] dengan memberikan syarat T\subseteq R semiring. Selanjutnya dengan menambahkan syarat cukup RDPT R[[S]] T-Noether dan syarat cukup MDPT M[[S]] dibangun secara berhingga, diperoleh syarat cukup MDPT $M[[S]]$ merupakan modul T[[S]]-Noether. Selain itu, hubungan antara modul hampir Noether, modul hampir dibangun secara berhingga dan modul T-Noether dapat diterapkan pada struktur MDPT M[[S]], yaitu diperolehnya syarat cukup lain MDPT M[[S]] merupakan modul T[[S]]-Noether.

In this dissertation, we investigate the sufficient conditions for Generalized Power Series Modules (GPSM) $M[[S]]$ over Genera\- lized Power Series Rings (GPSR) $R[[S]]$ to be a $T[[S]]$-Noetherian modules, where $T$ is a multiplicative set of ring $R$, $M$ is a module over $R$ and $S$ is a strictly ordered monoid. This is done by first determining sufficient conditions for the Polynomial modules $M[X]$ over $R[X]$, Laurent Polynomial modules $M[X,X^]$ over $R[X,X^]$, power series modules $M[[X]]$ over $R[[X]]$ and Laurent series modules $M[[X,X^]]$ over $R[[X,X^]]$ to be $T$-Noetherian modules. Moreover, we determine the sufficient conditions for $M[X]$, $M[X,X^]$, $M[[X]]$ and $M[[X,X^]]$ to be $T[X]$-Noetherian, $T[X,X^]$-Noetherian, $T[[X]]$-Noetherian and $T[[X,X^]]$-Noetherian, respectively. The results of this study indicate that $T[[S]]$ is a multiplicative set of GPSR $R[[S]]$ by giving the conditions $T\subseteq R$ is a semiring. Furthermore, by adding sufficient conditions of GPSR $R[[S]]$ to be $T$-Noetherian and sufficient conditions of GPSM $M[[S]]$ to be finitely generated, we obtained the sufficient conditions for GPSM $M[[S]]$ to be $T[[S]]$-Noetherian. In addition, the relationship between almost Noetherian modules, almost finitely generated modules and the $T$-Noetherian modules can be applied to the structure of GPSM $M[[S]]$, which is another sufficient condition for GPSM $M[[S]]$ to be $T[[S]]$-Noetherian.

Kata Kunci : ring T-Noether, modul T-Noether, Ring Deret Pangkat Tergeneralisasi (RDPT), Modul Deret Pangkat Tergeneralisasi (MDPT), modul T[[S]]-Noether.