SIFAT ATOMIK PADA RING KOMUTATIF DENGAN PEMBAGI NOL DAN KETERKAITANNYA DENGAN ELEMEN TAK TEREDUKSI

AMIRA ISTIGHFARIN, Prof. Dr. Sri Wahyuni, S.U.

2019 | Skripsi | S1 MATEMATIKA

Diberikan ring komutatif R dengan elemen satuan. Untuk a, b di R, a dan b berasosiasi jika langle a rangle = langle b rangle, dinotasikan dengan a sim b; a dan b berasosiasi kuat jika a=ub untuk suatu u elemen unit, dinotasikan dengan a approx b; a dan b berasosiasi sangat kuat jika (i)a sim b, (ii)a = b = 0 atau jika a tidak sama dengan 0 dan a = rb berakibat r suatu unit, dinotasikan dengan a isomorfis b. Diberikan elemen tak unit a di R. Elemen a tak tereduksi jika a=bc, untuk setiap b, c di R, berakibat a sim b atau a sim c; a tak tereduksi kuat jika a=bc berakibat a approx b atau a approx c; a tak tereduksi sangat kuat) jika a=bc berakibat a cong b atau a isomorfis c dan a tak tereduksi-m jika langle a rangle subseteq langle b rangle subseteq R berakibat langle b rangle = langle a rangle atau langle b rangle = R. Ring R dikatakan atomik jika setiap elemen tak nol tak unit di R merupakan produk berhingga dari elemen tak tereduksi; R atomik kuat jika setiap elemen tak nol tak unit di R merupakan produk berhingga dari elemen tak tereduksi kuat; R atomik sangat kuat jika setiap elemen tak nol tak unit di R merupakan produk berhingga dari elemen tak tereduksi sangat kuat; R atomik-m jika setiap elemen tak nol tak unit di R merupakan produk berhingga dari elemen tak tereduksi-m. Pada skripsi ini diberikan bermacam karakteristik dari berbagai bentuk elemen tak tereduksi dan beberapa sifat atomik serta keterkaitannya sifat atomik dan elemen tak tereduksi.

Let R be a commutative ring with an identity. For a, b in R, a and b are associates if langle a rangle = langle b rangle, denoted a sim b; a and b are strong associates if a = ub for some unit u in R, denoted approx b; a and b very strong associates if (i)a sim b, (ii)a = b = 0 or a non equals 0 and a = rb implies r is a unit, denoted a isomorfism b. Let a in R nonunit elements. a is irreducible if a=bc, for every b, c in R, implies a sim b or a sim c; a is strongly irreducible if a=bc implies a approx b or a approx c; a is very strongly irreducible if a=bc implies a isomorfism b or a isomorfism c; and a is m-irreducible if langle a rangle subseteq langle b rangle subseteq R implies langle b rangle = langle a rangle or langle b rangle = R. The ring R is said to be atomic if each nonzero nonunit of R is finite product of irreducible elements; R strongly atomic if each nonzero nonunit of R is finite product of strongly irreducible elements; R very strongly atomic if each nonzero nonunit of R is finite product of very strongly irreducible elements; and R m-atomic if each nonzero nonunit of R is finite product of m-irreducible elements. Various characterizations of different types of irreducible elements and various form of atomicity and the relations between atomicity and irreducible elements also provided.

Kata Kunci : asossiasi, atomik, tak tereduksi