FUNGSI KODIFERENSI PROSES MOVING AVERAGE DENGAN INOVASI ALFA-STABLE SIMETRIS

IQBAL KHARISUDIN, Prof. Dr.rer.nat. Dedi Rosadi, S.Si., M.Sc. ; Dr. Abdurakhman, S.Si., M.Si. ; Dr. Suhartono, S.Si., M.Sc.

2018 | Disertasi | S3 Matematika

Pada sebagian besar model statistika mempersyaratkan eksistensi momen orde kedua atau berbasis distribusi dengan varians berhingga. Melalui momen orde kedua dapat dikaji struktur dependensi dari model yang dibangun. Pada pemodelan runtun waktu dengan varians inovasi berhingga (misal model Gaussian), fungsi autokovarians dan fungsi autokorelasi (ACF) memegang peranan penting. Salah satu aplikasi ACF pada pemodelan runtun waktu Box-Jenkins adalah untuk identifikasi model. Pada model MA(q), fungsi autokorelasi bernilai nol setelah lag ke-q. Sifat penting tersebut digunakan sebagai dasar untuk mengidentifikasi orde q proses MA dari suatu data runtun waktu. Pada pemodelan runtun waktu dengan asumsi stable kasus non Gaussian, alpha<2 (varians populasi tak berhingga), secara teoritis fungsi ACF tidak dapat digunakan, karena penggunaan ACF mempersyaratkan varians yang berhingga. Oleh karena itu dalam pemodelan runtun waktu dengan asumsi stable digunakan alternatif fungsi dependensi yang lain, seperti fungsi kodiferensi (codifference) atau pun fungsi kovariasi (covariation). Permasalahan tentang fungsi kovariasi dan aplikasinya dibahas dalam Gallagher (2000, 2001). Dalam RosadiDeistler (2011) dibahas sifat umum fungsi kodiferensi sampel untuk model linear stasioner dan sifat asimtotis untuk proses yang iid. Berdasarkan kajian literatur dan sepanjang pengetahuan penulis, kajian tentang sifat asimtotis fungsi kodiferensi sampel untuk model MA(q) dengan asumsi inovasi berdistribusi stable simetris (S alpha S) untuk q>= 1 masih merupakan problem terbuka yang belum terjawab. Dalam penelitian ini dikaji sifat fungsi kodiferensi, sifat fungsi kodiferensi sampel (estimator), dan bentuk closed form fungsi kovarians asimtotis normal dari fungsi kodiferensi sampel untuk model MA(q) S alpha S. Dengan menggunakan fungsi kodiferensi sampel ternormalisasi, dapat didefinisikan fungsi autokodiferensi sampel (ACodF). Pada penelitian ini juga dikaji simulasi komputasional dan aplikasi fungsi autokodiferensi (ACodF) untuk identifikasi proses MA(q) dengan inovasi Gaussian (alpha =2) maupun S alpha S non Gaussian (alpha <2) menggunakan interval konfidensi asimtotis. Berdasarkan hasil penelitian diperoleh bahwa estimator fungsi kodiferensi ternormalisasi atau dalam disertasi ini disebut dengan fungsi autokodiferensi (ACodF) sampel proses MA(q) S alpha S untuk k>q secara asimtotis berdistribusi normal dengan varians bergantung pada koefisien model. Hal tersebut ditunjukkan dari bentuk closed form matriks kovarians asimtotis fungsi autokodiferensi sampel. Hasil tersebut dinyatakan dalam teorema dan akibat yang disajikan dalam pembahasan. Diperoleh bahwa bentuk matriks kovarians asimtotis fungsi kodiferensi sampel untuk proses MA(q) S alpha S merupakan bentuk perluasan (generalisasi) dari bentuk matriks kovarians asimtotis fungsi kodiferensi sampel untuk kasus iid, dengan memandang koefisien-koefisien pada model MA sama dengan nol. Berdasarkan sifat tersebut dapat dilakukan inferensi terhadap ACodF sampel pada model MA(q) S alpha S dengan membangun interval konfidensi estimator ACodF model MA(q) S alpha S untuk k>q. Interval konfidensi tersebut dapat digunakan untuk identifikasi proses MA(q) S alpha S. Namun demikian, dalam praktik diketahui bahwa koefisien dari model adalah prameter yang belum diketahui. Oleh karena itu untuk keperluan aplikasi, diusulkan prosedur iteratif dalam identifikasi orde q dari proses MA(q) S alpha S. Kajian simulasi dilakukan untuk melihat sifat asimtotis fungsi kodiferensi sampel secara komputasional. Berdasarkan kajian simulasi diperoleh bahwa identifikasi orde q dari proses MA(1) dan MA(2) dengan menggunakan batas interval konfidensi corrected I(hat) dari fungsi ACodF sampel dapat memperbaiki performa identifikasi orde yang seharusnya. Hasil identifikasi meningkat lebih baik dibandingkan dengan menggunakan ACF, fungsi autokovariasi (ACovF), maupun menggunakan ACodF dengan batas interval konfidensi MA(0), terutama jika ukuran sampel cukup besar (tidak kurang dari 100). Diperoleh pula berdasarkan hasil simulasi bahwa penggunaan fungsi autokodiferensi sampel untuk identifikasi model MA(q) dengan batas interval konfidensi ACodF corrected I(hat) lebih unggul sekitar 59,5% sampai dengan 86,8%. Hal ini menunjukkan bahwa hasil simulasi mendukung sifat asimtotis fungsi kodiferensi sampel proses MA(q) S alpha S. Pada bagian akhir, diberikan contoh aplikasi ACodF sampel untuk identifikasi berdasarkan prosedur iteratif pada data harga penutupan beberapa saham yang diperdagangkan di Indonesia.

Most of the statistical models require the existence of a second-order moment or based on the distribution with finite variance. We can study the dependency structure of the model based on second-order moment. In the time series modeling with finite variance innovation (eg Gaussian model), the autocorrelation function (ACF) plays an important role. One of the application of ACF on Box-Jenkins time series modeling is for model identification. In the MA(q) models, we found that the ACF values is zero after lag q. Such essential properties are used as a basis for identifying the MA process given by time series data. In the stable time series modeling, ACF function cannot be used, because it requires finite variance ($\sigma<\infty$). Therefore, in the modeling of time series with stable assumptions we use alternative dependency measures, such as codifference function or covariance function. The covariance function and its application were studied in Gallagher (2000, 2001). Rosadi and Deistler (2011) discussed the generalized form of the sample codifference functions for linear stationary models and its asymptotic property. The special case of iid process has also been discussed. Based on the literature review and the author's knowledge, the study of samples codifference function and its asymptotic properties for MA(q) model with symmetric alpha-stable (S alpha S) innovation are still an open problem. In this research, we examine the properties of codifference function, its estimator, and the asymptotic properties of sample codifference function for MA(q) S alpha S. We can define the sample autocodifference (ACodF) by using sample normalized codifference function. In this study, we examine the computational simulation and application of sample autocodifference function (ACodF) for the identification of MA(q) process with Gaussian (alpha = 2) and S alpha S non Gaussian (alpha <2) innovation using asymptotic confidence intervals. The main results of this research are the asymptotically normal distributed properties of the sample autocodifference function (ACodF, I(k)) of MA(q) S alpha S process for k>q. We found that the sample ACodF for MA(q) S alpha S process was asymptotically normal distributed with covariance matrix depends on its coefficients. These results are expressed in the theorems and corollary. The obtained results was an extension of the asymptotic property of the sample ACodF for the iid case. We can do inference about ACodF for MA(q) S alpha S process based on these properties. For application purposes, we proposed an iterative procedure for the q order identification of MA(q) S alpha S process. A simulation study was conducted to evaluate computationally the asymptotic properties of the sample ACodF. From the simulation, we found that the order identification of the MA(1) and MA(2) processes using the corrected confidence interval bounds I(hat) of the ACodF can improve the identification performance of the desired order. The model identification increases better than using ACF rho(hat), autocovariation (ACovF) lambda(hat), or using ACodF by MA(0) confidence interval bound, especially if the sample size is large enough (no less than 100). Based on simulation study, we obtain these improvement are about 59,5%-86,8%. These results are consistent with the asymptotic properties of sample ACodF for MA(q) S alpha S process. In the last section, we discuss the application of the sample ACodF for MA model identification base on iterative procedure for returns of stock data in Indonesia.

Kata Kunci : dependence measure, infinite variance, symmetric alpha-stable, MA(q)