OPTIMALISASI NORMA JANGKAUAN VEKTOR EIGEN ATAS ALJABAR MAKS-PLUS INTERVAL

SISWANTO, Dr.rer.nat. Ari Suparwanto, M.Si.; Dr. M. Andy Rudhito, S.Pd., M.Si.

2017 | Disertasi | S3 Matematika

Misalkan R himpunan bilangan real dan R epsilon : himpunan bilangan real union negatif tak hingga. Aljabar maks-plus adalah struktur aljabar yang dibentuk dari himpunan R epsilon dilengkapi dengan operasi maksimum dan penjumlahan. Suatu matriks berukuran m kali n yang komponen-komponennya merupakan anggota R epsilon disebut matriks atas aljabar maks-plus. Himpunan matriks atas aljabar maks-plus dinotasikan dengan R epsilon pangkat m kali n. Struktur aljabar yang dibentuk dari himpunan semua interval dalam R epsilon union [negatif tak hingga,negatif tak hingga] dilengkapi dengan operasi maksimum dan plus disebut aljabar maks-plus interval. Suatu matriks berukuran m kali n yang komponen-komponennya merupakan anggota himpunan semua interval dalam R epsilon union [negatif tak hingga,negatif tak hingga] disebut matriks atas aljabar maks-plus interval. Himpunan matriks berukuran m kali n yang komponen-komponennya merupakan anggota himpunan semua interval dalam R epsilon union [negatif tak hingga,negatif tak hingga] disebut himpunan matriks atas aljabar maks-plus interval. Dalam penelitian ini dibahas tentang optimalisasi norma jangkauan vektor eigen atas aljabar maks-plus interval dan optimalisasa norma jangkauan vektor eigen atas aljabar maks-plus interval dengan sebagian komponen vektor ditentukan. Penelitian ini berdasarkan perluasan aljabar maks-plus menjadi aljabar maks-plus interval, optimalisasi norma jangkauan vektor eigen atas aljabar maks-plus dan norma jangkauan vektor eigen atas aljabar maks-plus dengan sebagian komponen vektor ditentukan. Pembahasan diawali tentang bagaimana menentukan nilai eigen, vektor eigen dan ruang vektor-eigen atas aljabar maks-plus interval suatu matriks secara umum meliputi matriks tak tereduksi maupun matriks tereduksi. Pada bagian akhir diberikan contoh penerapan masalah nilai eigen dan vektor eigen atas aljabar maks-plus interval pada sistem produksi. Konsep yang terkait pembahasan utama juga diselidiki dalam penelitian ini. Adapun konsep yang terkait yaitu bagaimana menunjukkan eksistensi dan ketunggalan penyelesaian sistem persamaan linear dalam aljabar maks-plus interval melalui proses normalisasi sistem persamaan linear. Termasuk dalam pembahasan sistem persamaan linear adalah konsep tentang himpunan bayangan matriks atas aljabar maks-plus interval, matriks reguler kuat dan himpunan bayangan sederhana.

Let R be the set of real numbers and R epsilon : the set of real number union infinite negative. Max-plus algebra is algebraic structure formed from the set R epsilon equipped with maximum and addition operations. A matrix in the size of m times n, whose components belong to R epsilon, called matrix over max-plus algebra. The set of matrices over max-plus algebra is denoted by R epsilon power m times n. Algebraic structure formed from the set of all interval in R epsilon union [infinite negative,infinite negative] equipped with maximum and plus operations is called interval max-plus algebra. A matrix in the size of m times n, whose components belong to all interval in R epsilon union [infinite negative,infinite negative] , called matrix over interval max-plus algebra. In this research discussed about optimizing range norm of eigenvector over interval max-plus algebra and optimizing range norm of eigenvector over interval max-plus algebra with prescribed components. This research based on expanssion of max-plus algebra into interval max-plus algebra, optimizing range norm of eigenvector over max-plus algebra and optimizing range norm of eigenvector over max-plus algebra with prescribed components. The discussing initiated how to find eigenvalue. eigenvector and eigenvector space over max-plus algebra the generally matrices included reducible and irreducible matrices. In the last part of this research given application examples of the problem of eigenvalue and eigenvector over interval max-plus algebra in the production system. The concepts related to the main discussion were also investigated in this research. The concepts related, namely how to indicate the existence and uniqueness of solution of linear equation system in interval max-plus algebra by the normalization of linear equation system. Included in the discussion of linear equation system are the concepts about image set of matrices over interval max-plus algebra, strongly reguler matrices and simple image set.

Kata Kunci : Optimalisasi, Norma Jangkauan, Aljabar Maks-Plus Interval