Teori tentang subhimpunan fuzzy pertama kali diperkenalkan oleh Zadeh pada tahun 1965. Hal ini menginspirasi banyak peneliti lain untuk melakukan penelitian lebih lanjut, baik terkait dengan teori fuzzy maupun aplikasinya pada bidang ilmu yang lain. Teori maupun aplikasi subhimpunan fuzzy ini berkembang sangat pesat. Hal tersebut didorong oleh hasil-hasil penelitian yang menunjukkan hasil yang lebih baik jika dibanding dengan aplikasi yang didasarkan pada himpunan klasik. Aplikasi teknologi fuzzy dalam teknologi informasi (seperti teori persandian fuzzy) merupakan salah satu contoh aplikasi teori fuzzy yang sangat penting dan telah berkembang dengan cepat. Sebagai contoh lain aplikasi teori subhimpunan fuzzy adalah pada teori optimisasi dan statistik. Selain aplikasi subhimpunan fuzzy, teori subhimpunan fuzzy juga berkembang sangat pesat. Berkembangnya teori subhimpunan fuzzy ini sangat membantu dalam mengimbangi perkembangan aplikasi teori fuzzy pada berbagai bidang ilmu. Semigrup merupakan struktur aljabar yang lebih general dari pada grup. Seperti halnya grup, semigrup mempunyai beberapa aplikasi. Aplikasi semigrup antara lain pada persamaan reaksi difusi, persamaan diferensial parsial, teori automata (terutama pada semigrup transformasi linear dan relasi Green). Semigrup bentuk bilinear yang dinotasikan dengan S(B) merupakan semigrup yang elemennya berupa pasangan berurutan dari transformasi linear yang merupakan pasangan adjoin terhadap bentuk bilinear. Berdasarkan elemennya, maka semigrup bentuk bilinear S(B) ini merupakan salah satu semigrup transformasi linear, sehingga diharapkan ke depannya mempunyai aplikasi yang lebih baik pada bidang automata maupun yang lainnya. Selain semigrup transformasi linear, relasi Green pada semigrup juga mempunyai banyak aplikasi antara lain pada teori dekomposisi. Berdasarkan kondisi tersebut, maka disertasi ini akan meneliti tentang subsemigrup bentuk bilinear fuzzy yang diharapkan dapat menjembatani antara teori subsemigrup bilinear fuzzy dan relasi green fuzzy dengan aplikasi-aplikasinya dengan hasil yang lebih baik, seperti halnya pada aplikasi teori fuzzy bidang lain. Rajendran dan Nambooripad [2000] telah menyelidiki bagaimana pembentukan dan sifat-sifat semigrup bentuk bilinear S(B), yaitu suatu semigrup yang elemennya berupa pasangan adjoin relatif terhadap suatu bentuk bilinear yang mempunyai sifat khusus. Penelitian terkait dengan subsemigrup fuzzy belum seluas penelitian terkait dengan struktur aljabar fuzzy seperti subgrup fuzzy maupun subring fuzzy. Mengingat aplikasi teori himpunan fuzzy yang luas dan penelitian terkait dengan subsemigrup fuzzy terutama subsemigrup bentuk bilinear fuzzy yang belum dilakukan secara mendalam, maka pada disertasi ini diselidiki tentang subsemigrup bilinear fuzzy dan relasi Green fuzzy pada semigrup bentuk bilinear. Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilakukan, dalam disertasi ini diperoleh beberapa teori. Pada bagian awal penelitian berhasil didefinisikan subsemigrup fuzzy berdasarkan definisi subring fuzzy dan subgrup fuzzy. Beberapa contoh terkait dengan subsemigrup fuzzy juga telah diberikan. Penelitian ini juga berhasil memberikan sifat-sifat ideal fuzzy semigrup. Sifat lain yang berhasil diselidiki adalah sifat subhimpunan level (kuat) dari subsemigrup fuzzy. Berdasarkan pembentukan semigrup hasil bagi atas himpunan klasik, dalam penelitian ini telah didefinisikan subsemigrup hasil bagi fuzzy sebagai pemetaan dari semigrup hasil bagi ke interval tertutup [0; 1] yang memenuhi aksioma subsemigrup fuzzy. Selanjutnya didefinisikan subsemigrup bentuk bilinear fuzzy. Definisi tersebut tetap mengacu pada definisi subsemigrup fuzzy yang telah ada ditambah dengan aksioma khusus. Aksioma yang dimaksud ada berdasarkan sifat semigrup bentuk bilinear klasik. Berdasarkan definisi tersebut diperoleh sifat yang berlaku seperti pada subsemigrup fuzzy, yang terkait dengan subhimpunan level dan fungsi karakteristiknya. Apa yang berlaku pada subsemigrup fuzzy, juga berlaku pada subsemigrup bentuk bilinear fuzzy. Penelitian selanjutnya dilakukan pada masalah yang terkait dengan relasi Green fuzzy pada semigrup bentuk bilinear maupun himpunan elemen idempotennya. Dalam hal ini diawali dengan penyelidikan dengan konstruksi definisi suatu ideal utama fuzzy dan sifat-sifatnya. Berdasarkan definisi ideal utama fuzzy tersebut didefinisikan suatu relasi Green (kanan/kiri) fuzzy baik pada semigrup, semigrup bentuk bilinear maupun himpunan elemen idempoten semigrup bentuk bilinear. Relasi fuzzy tersebut membentuk relasi similar (ekuivalensi) fuzzy. Beberapa sifat dari relasi Green (kanan/kiri) telah berhasil dibuktikan. Berikutnya, definisi relasi Green (kanan/kiri) fuzzy yang telah diperoleh tersebut dipandang masih terlalu ketat, sehingga upaya berikutnya adalah mendefinisikan kembali relasi Green (kanan/kiri) fuzzy tersebut yang selanjutnya disebut relasi Green (kanan/kiri) fuzzy tersebut yang selanjutnya disebut relasi Green (kanan/kiri) fuzzy tergeneralisir. Relasi ini juga merupakan relasi similar (ekuivalensi) fuzzy.

The fundamental concept of fuzzy sets theory was first introduced by Zadeh since 1965. Since then, many scientists continuously do some deep researches on fuzzy sets theory showing the importance of its concepts and applications on other topics, including fuzzy algebraic structures. Thus, it also affect the development of some theories related to fuzzy algebraic structures, i.e. fuzzy subrings and fuzzy subgroups, including fuzzy subsemigroups. The fundamental theorem of groups homomorphism on fuzzy version has been done. Beside fuzzy algebraic structures, the theory of fuzzy relation and its types has also developed since first introduced by Murali. Fuzzy algebraic structures have also been developed on the algebraic structure in which is defined a partial order. The structure of a semigruop is more general than a group. It means that each a group is a semigroup. Rajendran dan Nambooripad [2000] have investigated the construction and the properties of a bilinear form semigroup S(B), whose elements are adjoin pairs related to a bilinear form that has special property. Studies about the properties of a bilinear form semigroup and Green relations of a semigroup have been carried out Karyati [2002] and Karyati and Wahyuni [2003]. Research on fuzzy subsemigroups are not as wide as researches on fuzzy subgroups and fuzzy subrings yet. Considering that the very broad application of fuzzy set theory and there are still few researches on fuzzy subsemigroup, especially fuzzy bilinear form subsemigroup, the purpose of this dissertation is to investigate about fuzzy bilinear form semigroups and the fuzzy relations in a bilinear form semigroup. Based on the theory of fuzzy algebraic structure that has been studied by the previous researchers, some theories of fuzzy bilinear semigroups and fuzzy Green relation on bilinear form semigroups are obtained. At the beginning of the study, we have defined the fuzzy subsemigroup of a semigroup which is based on the definition of a fuzzy subring and a fuzzy subgroup. Many examples of fuzzy semigroups have been given. We have found the properties of an ideal fuzzy semigroup. The other properties related to a fuzzy subsemigroup have been found. These are about the properties of a (strong) level subset of a fuzzy semigroup. Like in semigroups theory, there is a special fuzzy bilinear form subsemigroup. It is called a fuzzy regular bilinear form subsemigroup. The properties of this fuzzy subsemigroup have been establish and proven completely. Further, study related to fuzzy Green relations on a bilinear form semigroup and the set of idempotent elements is also carried out. First, the definition of the fuzzy (right/left) principal ideals of a semigroup are constructed. Second, the properties of these fuzzy principal ideal of a semigroup are investigated. Based on this definition the fuzzy (right/left) Green relations on a semigroup, a bilinear form semigroup and the set of idempotent elements semigroup bilinear form are also can be defined. These fuzzy relations are fuzzy equivalence relations. Some properties of the fuzzy (right/left) Green relations on a semigroup are established. The definition of these fuzzy (right/left) Green relations are very strictly, because these images are f0; 1g. Then it is reasonable to redefine these definitions. The new definitions are called generalized fuzzy (right/left) Green relations. These fuzzy relations are also fuzzy similar (equivalence) relations.

Kata Kunci : -