Kontrol optimal sistem regulator deskriptor untuk permainan dinamis

SALMAH, Promotor Prof.Dr. Bambang Soedijono, SU

2005 | Disertasi | S3 MIPA (Matematika)

Kendali optimal linear kuadratik sistem deskriptor adalah masalah meminimalkan suatu fungsi objektif berbentuk kuadratik yang memenuhi suatu sistem linear dengan matriksnya merupakan matriks singular. Sedangkan permainan dinamis linear kuadratik adalah masalah dengan para pemain bersama-sama memenuhi suatu sistem linear, para pemain meminimalkan fungsi-fungsi objektif dalam arti Nash berbentuk kuadratik. Penelitian tentang kendali optimal linear kuadratik telah berkembang cukup pesat dan dilakukan oleh beberapa peneliti. Kendali optimal linear kuadratik sistem deskriptor dikaji berdasarkan metode Hamilton dan dapat diturunkan persamaan diferensial Riccati teritlak yang solusinya tidak selalu ada. Telah dikaji asumsi yang diperlukan supaya penyelesaian persamaan diferensial Riccati yang didefinisikan ada. Permainan dinamis linear kuadratik kontinu non-kooperatif tak berjumlah nol lingkar terbuka dikaji oleh beberapa peneliti. Dengan metode Hamilton dikaji syarat perlu eksistensi penyelesaian optimal titik setimbang Nash. Didefinisikan dua buah persamaan diferensial Riccati teritlak untuk permainan dinamis linear kuadratik dua pemain waktu berhingga. Untuk waktu tak berhingga didefinisikan sepasang persamaan aljabar Riccati teritlak. Telah dikaji hubungan eksistensi persamaan diferensial Riccati teritlak dan penyelesaian optimal setimbang Nash permainan dinamis. Jika sepasang persamaan diferensial Riccati teritlak mempunyai penyelesaian, maka masalah permainan dinamis linear kuadratik dua pemain juga mempunyai penyelesaian titik setimbang Nash. Telah dilakukan penelitian tentang permainan dinamis linear kuadratik dua pemain sistem deskriptor. Penelitian tersebut mengkaji permainan dinamis berjumlah nol. Para pemain memenuhi satu persamaan diferensial ruang keadaan sistem deskriptor dan meminimalkan satu fungsi objektif berbentuk kuadratik. Yang telah diteliti hanya permainan dinamis dua pemain waktu berhingga, tidak dikaji untuk masalah waktu tak berhingga. Disertasi ini merupakan penelitian yang mengkaji tentang permainan dinamis linear kuadratik dua pemain lingkar terbuka tak berjumlah nol sistem deskriptor. Diasumsikan permainan berjalan noncooperative dan merupakan permainan lingkar terbuka. Artinya para pemain menentukan strategi pada saat permainan dimulai, kemudian para pemain tidak boleh mengubah strategi yang bereaksi terhadap strategi yang dimainkan lawan. Dengan metode Hamilton diturunkan syarat perlu eksistensi penyelesaian optimal titik setimbang Nash. Hal tersebut dilakukan dengan mendefinisikan dua fungsi Hamilton. Berdasarkan persamaan-persamaan yang diperoleh dapat dibentuk sistem deskriptor baru. Jika sistem deskriptor tersebut regular, maka dapat diturunkan solusi sistem deskriptor. Untuk masalah waktu berhingga didefinisikan sepasang persamaan diferensial Riccati teritlak. Dapat dibuktikan bahwa jika solusi persamaan diferensial Riccati tersebut ada, maka penyelesaian optimal titik setimbang Nash permainan dinamis ada. Dengan menyelesaikan dua buah persamaan ini dapat diperoleh penyelesaian optimal titik setimbang Nash permainan dinamis. Untuk masalah waktu tak berhingga didefinisikan dua buah persamaan aljabar Riccati teritlak. Jika persamaan aljabar Riccati ini mempunyai penyelesaian, maka masalah permainan dinamis linear kuadratik waktu tak berhingga akan mempunyai penyelesaian. Hasil yang diperoleh kemudian ditlakkan untuk masalah dengan N pemain. Didefinisikan N fungsi Hamilton. Kemudiam diturunkan syarat perlu eksistensi penyelesaian optimal titik setimbang Nash untuk N pemain. Untuk masalah waktu berhingga didefinisikan N persamaan diferensial Riccati teritlak. Dapat dibuktikan bahwa jika solusi N persamaan diferensial Riccati ini ada, maka penyelesaian optimal titik setimbang Nash permainan dinamis ada.Dengan menyelesaikan N persamaan ini dapat diperoleh penyelesaian optimal titik setimbang Nash permainan dinamis. Untuk masalah waktu tak berhingga didefinisikan N persamaan aljabar Riccati teritlak. Jika N persamaan aljabar Riccati ini mempunyai penyelesaian, maka masalah permainan dinamis linear kuadratik waktu tak berhingga akan mempunyai penyelesaian. Penelitian dalam disertasi ini dengan demikian mengitlakkan hasil yang telah diperoleh untuk masalah kendali optimal linear kuadratik sistem deskriptor. Juga mengitlakkan hasil tentang masalah permainan dinamis linear kuadratik sistem kendali biasa. Penelitian dalam disertasi ini juga mengitlakkan hasil yang diperoleh untuk masalah permainan dinamis linear kuadratik berjumlah nol sistem deskriptor. Penelitian ini juga lebih lengkap daripada hasil penelitian tentang permainan dinamis berjumlah nol sistem deskriptor karena dalam penelitian tersebut hanya dibahas masalah dua pemain waktu berhingga, sedang penelitian ini membahas masalah dua pemain dan N pemain waktu berhingga dan waktu tak berhingga

Linear quadratic optimal control descriptor system is a problem about minimizing objective function in quadratic form which satisfies a linear system with singular matrix. While linear quadratic dynamic games is a problem the the players that together satisfy one linear system, and minimize objective function in the Nash sense in quadratic form. Research about linear quadratic has been growing rapidly and was done by some researcher. It has been considered linear quadratic optimal control of descriptor system based on Hamilton method and has been derived generalized Riccati differential equation with the solution can not exist. The assumptions for the existence of solutions of generalized Riccati differential equation have been considered. Some researcher has been considered non-zero-sum continuous open-loop for non-cooperative linear quadratic dynamic game. With Hamilton method necessary conditions for the existence of optimal Nash equilibrium solution have been considered. Two generalized differential Riccati equation in finite time for two players of linear quadratic dynamic games have been defined. For infinite time problem two generalized algebraic Riccati equation has been defined. The relationship of the existence of generalized differential Riccati equation and the existence of Nash equilibrium optimal solution of dynamic games have been considered. If the two generalized differential Riccati equation have solutions, then two players of linear quadratic dynamic games problem will have Nash equilibrium solution. Linear quadratic dynamic game of descriptor systems has been considered. The research has considered about zero-sum dynamic game. The players are satisfying one state space differential equation and minimizing one objective function in quadratic form. The research only considered finite time two players dynamic game problem, not considered infinite time problems. This dissertation is a research about open-loop non-zero-sum linear quadratic games for two players with descriptor systems. It is assume that the game is noncooperative and open loop. This means that the players determine their strategies when the game is start, and then the players can’t change the strategies due to the strategy playing by another parties. With Hamilton method, necessary conditions for existence of optimal Nash equilibrium are derived. This is done by defining two Hamilton functions. From the obtained equations the new descriptor systems can be construct. If the descriptor system is regular the solution can be derived. For finite time problem a couple of generalized Riccati differential equations are defined. With mild assumption, it can be proved that if the solution of the differential Riccati equation does exist, then the optimal solution of dynamic game Nash equilibrium does exist. By solving the couple equation optimal Nash equilibrium can be achieved. For infinite time problem a couple of generalized Riccati algebra equation is defined. If the generalized algebra Riccati equations have solution, then infinite time linear quadratic dynamic game problem will have solution. The above results then generalized to problem with N player. Firstly N Hamilton functions are defined. Then necessary conditions for existence of optimal Nash equilibrium for N player will be derived. For finite time problem N generalized Riccati differential equations are defined. With mild assumption, it can be proved that if the solutions of N the differential Riccati equations is exist, then the optimal solution of dynamic game Nash equilibrium is exist. By solving N equation optimal Nash equilibrium can be achieved. For infinite time problem N generalized Riccati algebra equations are defined. If the generalized algebra Riccati equations have solutions, then infinite time linear quadratic dynamic games problem will have solutions. Research of this dissertation has generalized the result of linear quadratic optimal control of descriptor system. It also generalized result of linear quadratic dynamic game problem for ordinary systems. Research of this dissertation also generalized result of zero-sum linear quadratic dynamic game of descriptor systems. This research also more complete then the research result because it only considered about finite time of two players problem, while this research is considered finite time and infinite time of two players and N players problem.

Kata Kunci : Permainan Dinamis Linear Kuadratik,Kendali Optimal Linear Kuadratik