Semigrup terregularisasi-C terintegral Alfa-Kali :: Adjoint dan pendekatannya

MARDIYANA, Promotor Prof.Dr. Soeparna Darmawijaya

2004 | Disertasi | S3 Matematika

Penelitian untuk disertasi ini merupakan kajian tentang teori operator linear pada ruang Banach, khususnya pada teori semigrup operator linear. Dengan memanfaatkan konsep integral pecahan fungsi bernilai vektor yang dikenakan pada semigrup terregularisasi-C, dikonstruksi semigrup terregularisasi- C terintegral (simbol)kali, atau disingkat dengan semigrup-(simbol). Struktur semigrup- (simbol) merupakan pengitlakan atau generalisasi semigrup terregularisasi-C dan semigrup terintegral (simbol)kali. Dalam rangka mengkaitkan semigrup-(simbol) dengan persamaan diferensial atau masalah Cauchy abstrak, dikonstruksi generator semigrup-(simbol). Beberapa sifat generator semigrup-(simbol) diperoleh dengan mengitlakkan sifat-sifat generator semigrup terintegral (simbol)kali. Generator semigrup-(simbol), seperti halnya generator semigrup-C0, dikarakterisasi oleh penyelesaian masalah Cauchy abstrak: u(t) = A (rumus) Z t 0 u(s) ds + t®¡1 ¡(®) Cx: Tidak seperti semigrup-C0 yang kesemuanya terbatas eksponensial, di sini ditunjukkan bahwa terdapat semigrup-(simbol) yang tidak terbatas eksponensial. Dimotivasi karakteristik semigrup-C0, juga terdapat hubungan antara semigrup-(simbol) yang terbatas eksponensial dengan resolvent terregularisasi- C dari generatornya. Hubungan tersebut dinyatakan sebagai berikut: jika fS(t)gt¸0 merupakan semigrup-(C,(simbol)) yang terbatas eksoponensial dengan generator A, maka operator resolvent terregularisasi-C, (¸I ¡A)¡1C merupakan transformasi Laplace dari fS(t)gt¸0, atau (¸I ¡ A)¡1Cx = ¸(simbol) Z 1 (rumus) 0 e¡¸tS(t)x dt: Dengan menggunakan integral pecahan dan derivatif pecahan dikonstruksi semigrup-(C,(simbol)) yang lain, sedangkan untuk semigrup-(C,1) yang memenuhi syarat Lipschitz, ditunjukkan bahwa semigrup-(C,1) ini juga diferensiabel dan derivatifnya merupakan semigrup terregularisasi-C. Selanjutnya jika fS(t)gt¸0 merupakan semigrup-(C,(simbol)) dengan eksponen Holder (simbol), maka pengintegralan ¯-kali semigrup ini akan menghasilkan semigrup-(C,(simbol) + ¯) dengan eksponen Holder ((simbol)). Dalam rangka memperkaya struktur semigrup-(C,®), diselidiki sifat-sifat adjoint semigrup-(C,(simbol)) pada ruang dual X¤ dengan menggunakan topologi lemah¤ dan topologi norma. Tidak setiap adjoint semigrup-(C,(simbol)) merupakan semigrup-(C¤,(simbol)) lagi terhadap topologi norma, terdapat beberapa syarat yang harus dipenuhi agar adjoint semigrup-(C,(simbol)) merupakan semigrup-(C(simbol). Di akhir penelitian ini disajikan karakteristik operator Abel pada semigrup- (C,(simbol)). Kemudian ditunjukkan bahwa jika (simbol)! ¯ > 0 maka limit seragam xii semigrup-(C,(simbol)) merupakan semigrup-(C,¯). Kekonvergenan ini tidak se-ragam pada interval [0; T], untuk ® ! ¯ = 0. Akhirnya disajikan hubu-ngan antara kekonvergenan barisan semigrup-(C,(simbol)) dengan barisan resolvent terregularisasi- C dari generatornya, yaitu dengan menunjukkan Teorema Trotter-Kato untuk semigrup-(C,(simbol)).

In this dissertation we discuss some characteristics of linear operators on Banach spaces, especially on the semigroup of linear operators. Using the fractional calculus of vector-valued functions, we construct a structure which we call an (symbol)-times integrated C-regularized semigroup, or in short, (C,(symbol))- semigroup. This semigroup encompasses (symbol)-times integrated semigroup and C-regularized semigroup. In order to make relationships between a (C,(symbol))-semigroup and a differential equation we define a generator of a (C,(symbol))-semigroup. Some properties of the generator of a (C,(symbol))-semigroups are generalizations of the generator of an (symbol)-times integrated semigroup. The generator of a (C,®)-semigroup, like the generator of C0-semigroup, is characterized by the solvability of an abstract Cauchy problem: u(t) = A (formula) Z t 0 u(s) ds + t(symbol)1 ¡((symbol)) Cx: It is well-known that every C0-semigroup is exponentially bounded, but this property is not necessary satisfied by (C,(symbol))-semigroup. Similar to what happened on a C0-semigroup, there is a connection between exponentially bounded (C,(symbol))-semigroup and the C-regularized resolvent of it’s generator. The link is given by the Laplace transformation, i.e., if A is a generator of exponentially bounded (C,(symbol))-semigroup fS(t)gt¸0, then (¸I ¡ A)¡1Cx = ¸(symbol) Z 1 0 (formula) e¡¸tS(t)x dt: Further, we also construct another (C,®)-semigroup by the fractional integral and fractional derivative. If fS(t)gt¸0 is a (C,(symbol))-semigroup with generator A and T(t)x = R t 0 g¯(t¡r)S(r)x dr, then fT(t)gt¸0 is an (C, (symbol)+¯)-semigroup with generator A. Then, we turn to the case (C,1)-semigroup. We show that every Lipschitz continuous (C,1)-semigroup is differentiable and it’s derivative is C-regularized semigroup. Further, if fS(t)gt¸0 is a (C,(symbol))-semigroup with the Holder exponent (symbol), then ¯-times integral of S(t) produce a (C,((symbol) + ¯))- semigroup with Holder exponent ((symbol) + ¯). By weak¤-topology and norm topology on the dual space X¤, we discuss some characteristics of adjoint of (C,(symbol))-semigroups. Especially, in the norm topology we show, by an example, that in general the adjoint of (C,(symbol))- semigroup is not necessary a (C¤,(symbol))-semigroup. Furthermore, by giving some additional assumption (such as: Rg(C) and D(A) are dense) , we can prove that the adjoint of (C,(symbol))-semigroup is also a (C¤,(symbol))-semigroups. In the end of this dissertation we discuss some properties of an Abel operator on a (C,(symbol))-semigroups. Then, we show that as (symbol) ! ¯ the uniform limit of a (C,(symbol))-semigroup is a (C,¯)-semigroup. But the convergence cannot be uniform on interval [0; T], whenever (symbol) ! ¯ = 0. Finally, we discuss a relation between a convergence of a sequence of (C,(symbol))-semigroups and the sequence of C-regularized resolvents of their generators, where we show the Trotter-Kato Theorem of (C,(symbol))-semigroups.

Kata Kunci : Matematika,Semigrup Operator Linear,Ruang Banach