Dalam disertasi ini diperkenalkan pengertian keluarga modul bebas linear dan kategori 𝜏[𝑀] yang merupakan subkategori dari kategori 𝑅-modul. Keluarga modul bebas linear merupakan perumuman dari pengertian bebas linear suatu himpunan bagian di dalam suatu modul. Perumuman dan pembahasannya dilakukan dengan mempertimbangkan beberapa pengertian yang dikembangkan oleh Wisbauer (1991) untuk definisi membangun. Pendefinisian pengertian keluarga modul bebas linear yang dilakukan dengan memanfaatkan sifat yang disebutkan oleh Birkhoff-Maclane (1979) yaitu suatu himpunan bagian tak kosong 𝑆= 𝑠𝜆 𝛬 dari 𝑅-modul 𝑀 dengan 𝑅-homomorfisma 𝐿𝑆 ∶ 𝑅(𝛬)⟶ 𝑀 dikatakan bebas linear di dalam 𝑅-modul 𝑀 jika dan hanya jika 𝐿𝑆 suatu monomorfisma dan definisi monomorfisma pada Wisbauer (1991) yaitu suatu 𝑅-homomorfisma 𝑓∶ 𝑀𝜆Λ⟶𝑁 merupakan monomorfisma jika untuk setiap pasangan 𝑅-homomorfisma 𝑕,𝑔∶𝐿⟶ 𝑀𝜆Λ yang memenuhi 𝑓𝑕=𝑓𝑔, maka 𝑕=𝑔. Suatu keluarga 𝑅-modul 𝑁𝜆 Λ dikatakan bebas linear terhadap 𝑅-modul 𝑀 jika terdapat suatu monomorfisma dari koproduk keluarga 𝑅-modul 𝑁𝜆 Λ ke 𝑅-modul 𝑀. Definisi tersebut berarti untuk setiap pasangan homomorfisma yang berbeda dari suatu modul ke koproduk keluarga 𝑅-modul 𝑁𝜆 Λ, terdapat homomorfisma dari koproduk keluarga 𝑅-modul 𝑁𝜆 Λ ke 𝑅-modul 𝑀 sehingga komposisi homomorfisma tersebut juga berbeda. Pada akhir bagian pertama, didefinisikan pengertian keluarga modul bebas linear maksimal. Keluarga 𝑅-modul 𝑁𝜆 Λ dikatakan bebas linear maksimal terhadap 𝑅-modul 𝑀 jika untuk setiap 𝑅-modul 𝑉 selain anggota keluarga 𝑅-modul 𝑁𝜆 Λ, maka gabungan keluarga 𝑅-modul 𝑁𝜆 Λ dengan 𝑅-modul 𝑉 tidak bebas linear terhadap 𝑅-modul 𝑀. Dari definisi tersebut, didefinisikan suatu kategori yang dipaparkan pada bagian kedua. Kategori 𝜏[𝑀] merupakan koleksi submodul dari modul faktor 𝑀𝐿 dengan 𝐿 submodul dari 𝑀 yang isomorfis dengan submodul dari koproduk keluarga modul yang bebas linear maksimal terhadap 𝑀 dan dinotasikan oleh 𝜏 𝑀 = 𝐾𝐿 ≤𝑀𝐿 | 𝐿≅𝑉≤Λ𝑁𝜆, 𝜆∈Λ dengan 𝑁𝜆Λ adalah keluarga 𝑅-modul yang bebas linear maksimal terhadap 𝑀. Selanjutnya, diselidiki injektifitas modul-modul di dalam 𝜏[𝑀]. Suatu modul dikatakan bersifat injektif di dalam 𝜏[𝑀] (atau 𝜏[𝑀]-injektif) jika modul tersebut berada di dalam 𝜏[𝑀] dan bersifat injektif untuk setiap modul di dalam 𝜏[𝑀]. Diperoleh sifat bahwa, keluarga modul di dalam 𝜏[𝑀] bersifat 𝜏[𝑀]-injektif jika dan hanya jika koproduk dari keluarga modul tersebut bersifat 𝜏[𝑀]-injektif. Bagian akhir penelitian ini adalah menyelidiki sifat-sifat dari modul koherediter di dalam 𝜏[𝑀]. Suatu modul dikatakan modul koherediter di dalam 𝜏[𝑀] (atau 𝜏[𝑀]-koherediter) jika modul tersebut berada di dalam 𝜏[𝑀] dan setiap modul faktornya bersifat injektif untuk setiap modul di dalam 𝜏[𝑀]. Diperoleh sifat, suatu modul bersifat 𝜏[𝑀]-koherediter jika dan hanya jika setiap submodul dari modul yang bersifat 𝜏[𝑀]-proyektif adalah 𝜏[𝑀]-proyektif. Juga diperoleh, suatu modul bersifat 𝜏[𝑀]-koherediter jika dan hanya jika setiap modul faktor dari modul tersebut merupakan jumlahan langsung dari modul-modul di dalam 𝜏[𝑀]. Katakunci: bebas linear, bebas linear maksimal, kategori 𝜏[𝑀], 𝜏[𝑀]-injektif, 𝜏[𝑀]-koherediter

We introduce the concept of family of linearly independent modules and category of 𝜏[𝑀] which is a subcategory of the category 𝑅-modules. The definition of family of linearly independent modules is a generalization from the concept of a linearly independent subset within a module. The generalization and its discussion is done by considering some notions developed by Wisbauer (1991 ) for definition of generate. Defining the concept of family of linearly independent modules is done by utilizing the property which is stated by Birkhoff-Maclane (1979 ) that is a nonempty subset 𝑆= 𝑠𝜆 𝛬 of 𝑅-module 𝑀 with 𝑅-homomorphism 𝐿𝑆∶𝑅(𝛬)⟶𝑀 is said to be linearly independent in 𝑅-module 𝑀 if and only if 𝐿𝑆 is a 𝑅-monomorphism. Besides that, we put more attention on the concept of 𝑅-monomorphism by Wisbauer (1991 ) that is an 𝑅-homomorphism 𝑓∶ 𝑀𝜆Λ⟶𝑁 is said to be monomorphism if for every pair of 𝑅-homomorphism 𝑕,𝑔 ∶ 𝐿 ⟶ 𝑀𝜆Λ with satisfied 𝑓𝑕=𝑓𝑔, then 𝑕=𝑔. A family of 𝑅-module 𝑁𝜆 Λ is said to be linearly independent to 𝑅-module 𝑀 if there is 𝑅-monomorphism from coproduct of a family of 𝑅-module 𝑁𝜆 Λ to the 𝑅-module 𝑀. The definition means that for each different pair 𝑅-homomorphism from a module to coproduct of the family of 𝑅-module 𝑁𝜆 Λ, there exist a 𝑅-homomorphism from coproduct of the family of 𝑅-module 𝑁𝜆 Λ to 𝑅-modul 𝑀, so that its composition is also different. At the last of the first section, it is defined a concept of family of maximal linearly independent modules. A family of 𝑅-module 𝑁𝜆 Λ is said to be maximal linearly independent to 𝑅-module 𝑀 if for every 𝑅-module 𝑉 which is isomorphic with a submodule of 𝑅-module 𝑀 except members of the family of 𝑅-module 𝑁𝜆 Λ, then the union of both is linearly dependent to the 𝑅-module 𝑀. Based on the definition, we can define a category described in the following. A category 𝜏[𝑀] is a collection of submodules of factor module 𝑀𝐿 where 𝐿 submodule of 𝑀 is isomorphic with submodule of coproduct of family of maximal linearly independent modules to 𝑅-module 𝑀 and denoted by 𝜏 𝑀 = 𝐾𝐿 ≤𝑀𝐿 | 𝐿≅𝑉≤Λ𝑁𝜆, 𝜆∈Λ with 𝑁𝜆Λ is family of maximal linearly independent modules. Furthermore, we investigate on modules injectivity in 𝜏[𝑀]. A module is said to be injective in 𝜏[𝑀] (or 𝜏[𝑀]-injective) if the module is in 𝜏[𝑀] and it is injective for each module in 𝜏[𝑀]. We have, a family of modules in 𝜏[𝑀] is 𝜏[𝑀]-injective if and only if the coproduct of family module is 𝜏[𝑀]-injective. Ending of this research is investigating cohereditary modules in 𝜏[𝑀]. A module is said to be cohereditary module in 𝜏[𝑀] (or 𝜏[𝑀]-cohereditary) if the module is in 𝜏[𝑀] and its factor module is injective to modules in 𝜏[𝑀]. We have, a module is 𝜏[𝑀]-cohereditary if and only if every submodule of 𝜏[𝑀]-projective modules is 𝜏[𝑀]-projective. Also obtained, a module is 𝜏[𝑀]-cohereditary if and only if every factor module of the module is a direct sum of modules in 𝜏[𝑀]. Keyword: linearly independent, maximal linearly independent, category 𝜏[𝑀], 𝜏[𝑀]-injective, 𝜏[𝑀]-cohereditary.

Kata Kunci : bebas linear, bebas linear maksimal, kategori 𝜏[𝑀], 𝜏[𝑀]-injektif, 𝜏[𝑀]-koherediter