Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui konvergensi metode iterasi jika persamaan konveksi difusi didiskritisasi dengan skema diskritisasi order empat. Selain itu juga ingin mengetahui efisiensi skema diskritisasi order empat dalam menyelesaikan persamaan konveksi difusi jika digunakan metode multigrid. Di sini untuk melakukan diskritisasi persamaan konveksi difusi digunakan metode beda hingga. Hasil diskritisasi dengan metode beda hingga adalah sistem persamaan linear (SPL). Selanjutnya teknik multigrid diterapkan untuk menyelesaikan SPL yang diperoleh. Pada teknik multigrid digunakan teknik pelabelan lexicography, zebra, dan simetri. Sedangkan operator restriksi yang digunakan injection dan weighting. Untuk meningkatkan efisiensi metode multigrid standar, operator restriksi dan prolongasi masing-masing dikalikan dengan skalar α dan β . Untuk menentukan skalar α dan β yang meminimumkan jumlah cycle pada multigrid dilakukan dengan perhitungan numerik. Secara analitik diperoleh bahwa metode iterasi Jacobi, dengan matriks koefisien diperoleh dari skema diskritisasi order empat, konvergen jika γ , δ ≤ 1 atau γ = δ = 2 . Selain itu dengan eksperimen numerik diperoleh bahwa metode iterasi Jacobi konvergen untuk setiap bilangan γ dan δ . Selanjutnya, jika γ ,δ ≤ 0.01 algoritma multigrid modifikasi lebih efisien dibandingkan metode SOR. Sedangkan untuk γ ,δ ≥ 100 algoritma multigrid modifikasi dengan strategi pelabelan simetri lebih efisien dibandingkan metode SOR untuk kasus γ =δ . Selain itu juga diperoleh bahwa untuk masalah yang didominasi difusi strategi pelabelan lexicography dengan operaotr restriksi weighting lebih efisien dibandingkan dengan menggunakan strategi multigrid yang lain. Sedangkan untuk masalah yang didominasi konveksi strategi pelabelan simetri dengan restriksi injection maupun weighting lebih efisien dibandingkan dengan menggunakan strategi multigrid yang lain.

This research addresses to investigate the convergence of iterative method when the convection diffusion equation is discretized using fourth order discretization scheme. It also investigate the efficiency of fourth order scheme in order to solve the convection diffusion equation with multigrid method. We use finite difference method as discretization technique of the convection diffusion equation. The resulting scheme yields the system of linear equations. Then, the multigrid technique is applied to this resulting system of equations. In the multigrid technique we used lexicography, zebra, and symmetric as ordering techniques on the grid points. We also used either injection or weighting as restriction operators. Furthermore, in order to improve the efficiency of standart multigrid method, we multiply the restriction and prolongation operators with scalarα and β . We compute numerically to find the appropriate value of α and β i.e. minimizing the number of cycles in multigrid process. We found analytically that the Jacobi method, which the matrix coefficient result from fourth order scheme, converge when γ , δ ≤ 1 or γ = δ = 2 . Moreover, numerical experiment showed that the Jacobi method converge for all values of γ and δ . Furthermore, we found that our modified multigrid method is more efficient than SOR when γ ,δ ≤ 0.01. We have also found that when γ ,δ ≥ 100 , modified multigrid method with symmetric ordering is more efficient than SOR for case γ =δ . Moreover, we found that when the diffusion is dominant, lexicographical ordering with weighting as restriction operator is more efficient than another multigrid strategy. We have also found that when the convection is dominant, symmetric ordering with either injection or weighting as restriction operator is more efficient than another multigrid strategy.

Kata Kunci : Persamaan Konveksi Difusi,Diskritisasi Order Empat